Messung der Mondentfernung
In den Nächten vom 12.11.zum 13.11.2000 und vom 9.12. zum 10.12.2000 stand der Mond nahe Jupiter und Saturn im Sternbild Stier. Dies war eine gute Gelegenheit, mit Partnern in fernen Ländern die Mondentfernung zu bestimmen!
1. Das Prinzip
2 Vorschläge zum Vorgehen
2.1 Fotos
2.2 Winkelmessungen
2.2.1 Azimut und Höhe des Mondes
2.2.2 Winkelabstand Jupiter-Saturn
3 Auswerteverfahren
3.1 Entfernung der Aufnahmestandorte
3.2 Basiswinkel
3.3 Parallaxenwinkel des Mondes
3.4 Mondentfernung
3.5 Fehlerbetrachtung
4 Messungen
4.1 ...am 12.11.2000
4.2 ...am 09.12.2000
5 Auswertung
5.1 Mondparallaxe direkt vom Bildschirm
5.2 Mondparallaxe von ausgedruckten Bildern
5.3 Ergebnisse
5.3.1 Gelehrtenschule Meldorf
5.3.2 Immanuel-Kant-Schule Neumünster
6 Tipps
1. Das Prinzip
Wir fotografieren den Mond
mit Jupiter und Saturn zu gleichen Zeitpunkten (z.B. jede volle Stunde)
von einigen Standpunkten auf der Erde, die möglichst in Nord-Süd-Richtung
(gleichzeitige Kulmination des Mondes!) möglichst weit voneinander
entfernt sind. Gleichzeitig bestimmen wir von mindestens einem der Aufnahmestandorte,
z. B. von Standort A, die Position des Mondes M am Himmel im Horizontsystem
(Azimut und Höhe) und den Winkelabstand Jupiter-Saturn. Wir können
auch zu unterschiedlichen Zeitpunkten fotografieren, z. B. um wenige vorhandene
Wolkenlöcher auszunutzen. Dann bestimmen wir an jedem Aufnahmeort
aus mehreren Fotos die Spur des Mondes am Himmel und können so für
jeden beliebigen Zeitpunkt per Interpolation die Position des Mondes rekonstruieren.
Der Vergleich der Aufnahmen von zwei Aufnahmestandorten A und B zeigt dann - erkennbar an den unterschiedlichen Positionen gegenüber den beiden Planeten - eine parallaktische Verschiebung des Mondes, die man in einen Parallaxenwinkel p umrechnen kann. Dies ist gleichzeitig der Winkelabstand der Orte A und B vom Mond aus gesehen (Stufenwinkel an Parallelen). Man braucht außerdem die Entfernung AB und einen weiteren Winkel, zum Beispiel Winkel B-A-M = a. Mit Hilfe des Sinussatzes erhält man dann die Längen der Strecken BM oder AM. Das ist allerdings nicht die Entfernung des Mondes vom Erdmittelpunkt!
Statt der beiden Planeten kann man im Prinzip auch Fixsterne verwenden; allerdings sollten sie hell genug sein und relativ dicht nebeneinander und nahe der Ekliptik stehen.
Das konkrete Vorgehen soll
für Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar sein, die gerade
den Sinussatz am ebenen Dreieck verstanden haben und den Dreisatz sicher
beherrschen; jüngere Schüler können die Anwendung des Sinussatzes
möglicherweise durch eine Dreieckskonstruktion ersetzen, die aber
sehr präzise sein muss, da der Parallaxenwinkel naturgemäß
recht klein ist. Kenntnisse über astronomische Koordinatensysteme
oder sphärische Trigonometrie sind nicht nötig. Dagegen wird
darauf Wert gelegt, dass durch manuelle Tätigkeit an einem räumlichen
Modell (Globus mit aufgesetztem Horizontsystem) alle Schritte anschaulich
werden. Selbstverständlich kann man das Projekt zum Anlass nehmen,
weitere Kenntnisse zu erwerben und alle nötigen Werte auch zu berechnen.
Die betreffende Sterngegend im Sternbild Stier bietet am Abend des 12.11.2000 von Mitteleuropa aus etwa folgenden Anblick:
Abbildung aus: T. Neckel:
Aktuelle Hinweise für den Beobachter, Sterne und Weltraum 11/2000,
Seite 960 (Original farbig)
Von südlicheren Standpunkten aus gesehen erscheint das Bild gegenüber dem Horizont natürlich gedreht.
Da der Winkelabstand Jupiter-Saturn etwa 10° beträgt, ist eine Brennweite f = 15 cm bei Kleinbildformat 24mm x 36mm optimal. Die Auflösung von Standardfilmen reicht völlig; egal ob Farbfilm oder Schwarz-Weiß. Die Belichtungszeit soll so gewählt sein, dass Saturn gerade sicher zu erkennen ist, der Mond aber nicht unnötig überstrahlt wird, damit der Mondrand sicher zu erkennen ist; Belichtungszeiten zwischen 0,1s und 10 s bei mittlerer Blende sollten passen, sind allerdings von der momentanen Beschaffenheit der Atmosphäre (Dunst!) abhängig, daher sind zu jedem Aufnahmezeitpunkt immer mehrere Aufnahmen mit unterschiedlichen Belichtungszeiten nötig; Probeaufnahmen rechtzeitig vor dem Aufnahmetermin sind sinnvoll; die Qualität immer am Negativ beurteilen! Bitte ein Stativ und einen Drahtauslöser benutzen.
Unbedingt müssen die
Aufnahmezeitpunkte und die benutzte Zonenzeit notiert werden!
=> Inhalt
2.2 Winkelmessungen
2.2.1 Azimut und Höhe des Mondes
Während wir für das Verfahren mindestens zwei Fotos von verschiedenen Standorten brauchen, reicht es, wenn zu jedem Aufnahmezeitpunkt die Position des Mondes im Horizontsystem an einem Standort gemessen wird. Daraus lässt sich später der Winkel zwischen den Richtungen zum Mond und zum zweiten Aufnahmeort mit Hilfe eines Globus ermitteln.
Das kann so funktionieren: Man legt irgendeine ebene (leichte, dünne.., siehe 3.2) Platte horizontal (Wasserwaage, Dosenlibelle, Untertasse voll Wasser..) auf eine feste Unterlage, markiert mit Hilfe eines Kompasses die Nord-Süd-Richtung darauf, befestigt mit Knetgummi auf dieser Linie das Ende eines leichten dünnen Stäbchens (Schaschlik-Spieß) und richtet das Stäbchen genau auf den Mond (erkennbar daran, dass der Mond keinen Schatten des Stäbchens mehr wirft). Dann kann man den Höhenwinkel h und den Azimutwinkel g (das ist die "Himmelsrichtung") mit einem Geodreieck messen; siehe Zeichnung. Natürlich müssen diese Werte zusammen mit dem Aufnahmezeitpunkt notiert werden.
Die Grundplatte des Winkelmessgerätes
auf dem Foto ist eine Winkelscheibe für Optik-Schülerübungen.
Natürlich kann man für die Messungen von Azimut und Höhe auch einen vertikal stehenden Schattenstab benutzen. Dann lässt sich der Azimutwinkel direkt auf der Winkelscheibe ablesen; der Höhenwinkel muss aus der Schattenlänge und der Stablänge berechnet oder an einem Faden von der Stabspitze zum Ende des Stabschattens abgelesen werden. Auch einen Theodolithen kann man benutzen, falls dieser erlaubt, einen hinreichend großen Höhenwinkel zu messen.
Falls Azimut und Höhe
nicht messbar sind, kann man sie aus Tabellenwerten rekonstruieren. Das
gelingt etwas mühsam mit den Formeln der sphärischen Geometrie.
Zwar nicht so genau, aber anschaulicher und für Schüler nicht
nur manuell begreifbarer ist ein Kartonmodell, wie es in der folgenden
Abbildung zu sehen ist:
Es zeigt passend zu der
in Abschnitt 4 gezeigten Aufnahme die Mondposition (rotes Kügelchen)
von Thessaloniki aus am 12.11.2000 um 20.00 Uhr Weltzeit. Dazu wurde auf
der Horizontebene zunächst ein Sektor der Äquatorebene im Winkel
(90°-geographische Breite) geneigt aufgeklebt. Auf ihr sind aus gelbem
Karton zwei orthogonal zueinander stehende Sektoren für den Stundenwinkel
des Mondes und seine Deklination befestigt. Die Deklination des Mondes
(hier 18°) erhält man nach Interpolation aus einem astronomischen
Jahrbuch (z.B. Himmeljahr 2000, Kosmos-Verlag), ebenso die Rektaszension
(hier 4h 08min).
Der Stundenwinkel ergibt
sich dann aus der Beziehung
Stundenwinkel = Sternzeit
- Rektaszension
Mit der Sternzeit 1h 01min, die man ebenfalls einem Jahrbuch entnimmt und auf den Aufnahmeort und -zeitpunkt umrechnet, erhält man den Stundenwinkel von -3h 07min, wie in der Abbildung näherungsweise abzulesen.
Dieses Kartonmodell kann man anstelle der Winkelscheibe mit dem Schaschlikstäbchen zur Auswertung (siehe Abschnitt 3.2) direkt auf den Globus kleben. Prinzipiell macht man dabei allerdings einen kleinen Fehler: Deklination und Rektaszension werden bezogen auf einen Beobachter im Erdmittelpunkt angegeben, während das Kartonmodell auf der Erdoberfläche sitzt. Der so ermittelte Basiswinkel wird also entsprechend verfälscht, der Fehler dürfte aber angesichts der begrenzten Genauigkeit des Modells zu vernachlässigen sein.
2.2.2 Winkelabstand Jupiter-Saturn
Für diese Messung kann man sich aus Stativmaterial und Längenmessgeräten aus der Physik-Sammlung schnell einen "Jakobsstab" zusammenbauen:
Das Durchblicksloch sollte
möglichst klein sein. Man schaut durch das Loch und verschiebt die
Markierungen auf dem Querstab so lange, bis die Peilung zu Jupiter bzw.
Saturn passt. Dann lässt sich der Winkel d
messen bzw. errechnen.
=> Inhalt
3 Auswerteverfahren
3.1 Entfernung der Aufnahmestandorte
Ich schlage vor, die Strecke
AB mit Hilfe einer großen Schiebelehre auf einem Globus auszumessen
und mit Hilfe des Globus-Maßstabes auszurechnen.
=> Inhalt
Mit doppelseitigem Klebeband
wird auf einem Globus am Aufnahmeort A die Platte angeklebt, mit der Höhe
und Azimut des Mondes bestimmt wurden; auf A fällt der Fußpunkt
A' des Stäbchens. Dann liegt die Platte in der Tangentialebene an
den Globus in A, also in der Horizontebene von A. Natürlich muss auch
die Nord-Süd-Linie die Tangente an den Längengkreis durch A bilden.
Wenn nun Azimut und Höhe wieder passend eingestellt sind, so wird
die Position des Mondes relativ zum Globus bei der Aufnahme reproduziert.
Nun wird die Schiebelehre aus 3.1 noch einmal angelegt. Ihre Kante bildet
mit dem Stäbchen den gesuchten Winkel a,
der nun mit einem Geodreieck gemessen werden kann.
3.3 Parallaxenwinkel des Mondes
Zunächst braucht man auf dem Foto eine Winkelskala. Dazu misst man auf dem Foto den Abstand der Bilder von Jupiter und Saturn und berechnet mit dem in 2.2.2 gemessenen Winkel g den Umrechnungsfaktor von Längenabständen auf dem Foto zu Winkelabständen am Himmel. Nun legt man je ein Foto von A und B so übereinander, dass Jupiter und Saturn aufeinander liegen. Die Mondbilder sind gegeneinander verschoben; diese Verschiebung kann man messen und nun in den gesuchten Winkel p umrechnen. Voraussetzung dabei ist natürlich, dass man Jupiter und Saturn als unendlich weit entfernt annehmen kann.
Kontrolle: Der Winkeldurchmesser des Mondes muss etwa 0,5° betragen.
Die Entfernung BM ergibt
sich nun leicht aus dem Sinussatz: BM / sin
a = AB / sin
p
=> Inhalt
Hier sind dem Forscherdrang
keine Grenzen gesetzt. Schön wäre, wenn sich als kritische Größe
der Parallaxenwinkel herausstellen würde, denn der hat bei astronomischen
Entfernungsmessungen immer die größten Sorgen bereitet. Dagegen
ist der Basiswinkel relativ unkritisch, besonders wenn er in der Nähe
von 90° liegt.
=> Inhalt
4. Messungen
Am 11.12. 2000 standen 9 Kollegen in Brasilien, Südafrika, Griechenland und Deutschland mit ihren Schülern bereit, um Aufnahmen zu machen. Allerdings spielte das Wetter nur in Thessaloniki und Johannesburg mit: um 20 Uhr UT und um 21 Uhr UT gelangen Max Ruf (Deutsche Schule Johannesburg) und Wolfgang Hofbauer (Deutsche Schule Thessaloniki) auswertbare Aufnahmen.
Die folgenden vier Abbildungen bilden zwei Paare: jeweils die erste zeigt die übermittelte Aufnahme von 20 Uhr UT, nur ergänzt mit den Aufnahmedaten; in der jeweils zweiten ist das Original zu einer Schwarz-Weiß-Graphik verarbeitet worden. Der Grauton, bei dem die Entscheidung zwischen Schwarz und Weiß liegt, wurde dazu so gewählt, dass der Mondrand optimal zu erkennen ist. Damit die Bilder von Jupiter und Saturn dabei nicht verloren gingen, wurden sie vorher retuschiert, aber natürlich nicht verschoben.
Die Graphiken werden hier mit einer Breite von 750 Pixeln wiedergegeben. Zur Auswertung ist es vielleicht sinvoll, die Bilder in voller Auflösung zu nutzen.
Den Winkelabstand Jupiter
- Saturn (siehe oben 2.2.2) hat Max Ruf zu g
= 10,5° gemessen.
Die geographischen Koordinaten
der Aufnahmeorte sind:
Johannesburg: 26°
12'
südl. Breite, 28° 06' östl. Länge
Thessaloniki: 40°
36' nördl. Breite, 23° 06' östl. Länge
Am 9.12. gelang von allen Partnern außerhalb Deutschlands nur Wolfgang Hofbauer in Thessaloniki ein Foto durch ein "2%-Wolkenloch", das exakt um 20 Uhr UT das passende Stück Himmel freigab. Für die Messung von Azimut und Höhe war es zu klein. In Deutschland war gutes Wetter; die zweite Aufnahme stammt vom selben Zeitpunkt aus Neumünster (Physik-AG der Immanuel-Kant-Schule).
Den Winkelabstand Jupiter
- Saturn (siehe oben 2.2.2) hat Roland Schafitel in Meldorf zu 9,2°
gemessen.
Die geographischen Koordinaten
der Aufnahmeorte sind:
Thessaloniki: 40°
36' nördl. Breite, 23° 06' östl. Länge
Neumünster:
54° 06' nördl. Breite, 09° 59' östl. Länge
Mondposition von Neumünster
aus: Azimut: 44° von Süd nach Ost; Höhe 46°
Hier die beiden Aufnahmen unbearbeitet als Positive:
Thessaloniki:
Neumünster:
5 Auswertung
5.1 Mondparallaxe direkt vom Bildschirm
In der folgenden Montage
sind die beiden Aufnahmen aus Abschnitt 4.1 so gedreht und zentrisch gestreckt
worden, dass die Verbindungsstrecken Jupiter-Saturn horizontal liegen und
gleich lang sind. Dadurch lässt sich die Mondparallaxe nun am Bildschirm
ermitteln:
a) Markiere auf dem Bildschirm
mit Folienschreiber die Positionen von Jupiter, Saturn und Mond in der
oberen Aufnahme.
b) Verändere nicht
die Position deines Kopfes; schiebe das zweite Bild mit Hilfe der scroll-Leiste
auf dem Bildschirm so, dass Jupiter und Saturn auf die Marken passen, zeichne
den zweiten Mond auf den Bildschirm. Wenn die scroll-Funktion zu grob arbeitet,
kopiere das Bild zuerst auf eine leere neue Seite eines Webseiten-Editors
oder eines Bildbearbeitungsprogramms, verfahre dann genauso.
c) Miss auf dem Bildschirm
den Abstand Jupiter-Saturn und den Abstand der Mondbilder.
d) Der Abstand Jupiter-Saturn
entspricht einem Winkelabstand von 10,5°. Berechne per Dreisatz den
Winkelabstand p
der beiden Mondbilder.
5.2 Mondparallaxe von ausgedruckten Bildern
Entweder werden die Ausdrucke
durch die entsprechende Funktion des Druckprogramms auf gleichen Abstand
Jupiter-Saturn gebracht, oder man verwendet dazu einen Fotokopierer: Ein
Bild wird auf Folie kopiert oder per Hand übertragen, dann werden
die Bilder übereinandergelegt, und wie in 5.1 beschrieben wird die
Mondparallaxe bestimmt.
=> Inhalt
Die Mondentfernung
An dem Projekt nahmen sowohl
Johannesburger (Südafrika) als auch Griechen aus Thessaloniki teil;
dort wurden zur selben Zeit Mond, Jupiter und Saturn fotografiert. Nachdem
über Internet die Bilder ausgetauscht waren, konnten eifrige Schüler
und (teilweise genervte) Lehrer die entsprechenden Winkel und somit schließlich
die Entfernung des Mondes von der Erde berechnen.
Obwohl die MGS-Schüler
der 6. bis 9. Schuljahrgänge den Stoff, den sie für die Berechnung
der Entfernung brauchten, erst in der Oberstufe bekommen werden, scheute
Ihr Lehrer, Herr Schafitel, nicht davor zurück, ihnen den Sinussatz
beizubringen.
Zuerst wurde der Winkel
zwischen Saturn und Jupiter mit Hilfe eines Jakobsstabes ausgemessen (10,5
Grad). Dann wurde der Winkel zwischen den Mondbildern auf den Fotos von
den beiden Orten durch die Überlagerung zweier Folien ermittelt (1,1
Grad). Der Abstand zwischen Johannesburg und Thessaloniki beträgt
- am Globus gemessen - 7106 km. Aus diesen Werten kann mit Hilfe des Sinussatzes
die Entfernung zum Mond berechnet werden. Sie beträgt demnach 377.000
km. (jk)
 |
Christopher Rauch am C8 der Astro-AG der Meldorfer Gelehrtenschule während der Mondfoto-Aktion am 9.12.2000 (Meldorfer Zeitung, 11.12.2000) |
5.3.2 Immanuel-Kant-Schule Neumünster
In der Physik-AG der IKS
Neumünster haben wir nach der in 5.2 beschriebenen Methode die beiden
Fotos vom 12.11.2000 ausgedruckt und übereinandergelegt. Jupiter
und Saturn hatten dort einen Abstand von 171 mm; die beiden Mondpositionen
lagen 18 mm voneinander entfernt. Daraus ergab sich ein Parallaxenwinkel
p
= 10,5° · (18 / 171) = 1,1° .
 |
Am großen Globus aus dem Erdkunde-Fachraum haben wir als nächstes die Richtung zum Mond von Thessaloniki aus mit Hilfe der Winkelmessscheibe rekonstruiert... |
| ... und den
Winkel Johannesburg-Thessaloniki-Mond zu 103° gemessen.
Gleichzeitig ergab
sich der Abstand Johannesburg-Thessaloniki zu 36,4 cm bei einem Globusdurchmesser
von 63,2 cm. Mit dem Erddurchmesser von 12740 km konnten wir die wahre
Entfernung Johannesburg-Thessaloniki zu
|
 |
 |
Um den Sinussatz anwenden zu können, brauchten wir noch den Winkel Mond-Johannesburg-Thessaloniki. Er betrug 180° - 103° - 1,1° = 75,9°. Nun konnten wir alles in den Sinussatz einsetzen und erhielten die Entfernung Thessaloniki- Mond: TM = (sin 75,9° / sin 1,1°) · 7340 km = 372 500 km. Fertig! |
(Später haben wir erfahren, dass der von uns benutzte Messwert von 85° für den Azimutwinkel um 10° zu groß war; er beträgt nur 75°. Dadurch muss mit einem kleineren Basiswinkel gerechnet werden. Da dieser nahe 90° liegt, wo die Sinuskurve nur eine geringe Steigung hat, wirkt sich dieser Fehler aber kaum auf das Ergebnis aus. Probiert es selbst mal aus!)
6. Tipps
Literatur zur Mondentfernung:
Otto Zimmermann: Astronomisches
Praktikum I, SuW-Taschenbuch 8, Verlag Sterne und Weltraum; Neudruck Bibliographisches
Institut Mannheim / Wien / Zürich 1977
Dort findet man vier Methoden
zur Messung der Mondentfernung, bei denen man nur an einem Ort der Erde
beobachten muss:
- aus dem Erdschattendurchmesser
auf dem Mond,
- aus der Änderung
der Mondgröße mit der Höhe,
- aus der parallaktischen
Libration,
- aus Sternbedeckungen durch
den Mond
M. Soffel, J. Müller:
Lasermessungen der Monddistanz, Sterne und Weltraum 7/1997, Seiten 646-651
Die Autoren erläutern
das Messverfahren und stellen weitreichende Folgerungen dar, die man aus
dem auf wenige Zentimeter genauen Messergebnis ziehen kann.
Ein Link:
Professor Udo Backhaus, Uni Koblenz, hat ebenfalls Ende 2000 eine Initiative zur Messung der Mondentfernung per Triangulation gestartet, siehe http://www.uni-koblenz.de/~backhaus/moonproject.htm