Bernd Huhn, Immanuel-Kant-Schule Neumünster, Mozartstraße 36, D-24534 Neumünster, e-mail: huhn.abfl@t-online.de

Messung der Mondentfernung
Ein Projekt für Astronomie-Arbeitsgemeinschaften oder für den Mathematik-Unterricht der 10. Klasse (Sinussatz)

In den Nächten vom 12.11.zum 13.11.2000 und vom 9.12. zum 10.12.2000 stand der Mond nahe Jupiter und Saturn im Sternbild Stier. Dies war eine gute Gelegenheit, mit Partnern in fernen Ländern die Mondentfernung zu bestimmen!

Inhalt:
1. Das Prinzip
2  Vorschläge zum Vorgehen
   2.1 Fotos
   2.2 Winkelmessungen
    2.2.1 Azimut und Höhe des Mondes
    2.2.2 Winkelabstand Jupiter-Saturn
3 Auswerteverfahren
   3.1 Entfernung der Aufnahmestandorte
   3.2 Basiswinkel
   3.3 Parallaxenwinkel des Mondes
   3.4 Mondentfernung
   3.5 Fehlerbetrachtung
4 Messungen
   4.1 ...am 12.11.2000
   4.2 ...am 09.12.2000
5 Auswertung
   5.1 Mondparallaxe direkt vom Bildschirm
   5.2 Mondparallaxe von ausgedruckten Bildern
   5.3 Ergebnisse
    5.3.1 Gelehrtenschule Meldorf
    5.3.2 Immanuel-Kant-Schule Neumünster
6 Tipps


1. Das Prinzip

Wir fotografieren den Mond mit Jupiter und Saturn zu gleichen Zeitpunkten (z.B. jede volle Stunde) von einigen Standpunkten auf der Erde, die möglichst in Nord-Süd-Richtung (gleichzeitige Kulmination des Mondes!) möglichst weit voneinander entfernt sind. Gleichzeitig bestimmen wir von mindestens einem der Aufnahmestandorte, z. B. von Standort A, die Position des Mondes M am Himmel im Horizontsystem (Azimut und Höhe) und den Winkelabstand Jupiter-Saturn. Wir können auch zu unterschiedlichen Zeitpunkten fotografieren, z. B. um wenige vorhandene Wolkenlöcher auszunutzen. Dann bestimmen wir an jedem Aufnahmeort aus mehreren Fotos die Spur des Mondes am Himmel und können so für jeden beliebigen Zeitpunkt per Interpolation die Position des Mondes rekonstruieren.

Der Vergleich der Aufnahmen von zwei Aufnahmestandorten A und B zeigt dann - erkennbar an den unterschiedlichen Positionen gegenüber den beiden Planeten - eine parallaktische Verschiebung des Mondes, die man in einen Parallaxenwinkel  p umrechnen kann. Dies ist gleichzeitig der Winkelabstand der Orte A und B vom Mond aus gesehen (Stufenwinkel an Parallelen). Man braucht außerdem die Entfernung AB und einen weiteren Winkel, zum Beispiel Winkel B-A-M = a. Mit Hilfe des Sinussatzes erhält man dann die Längen der Strecken BM oder AM. Das ist allerdings nicht die Entfernung des Mondes vom Erdmittelpunkt!

Statt der beiden Planeten kann man im Prinzip auch Fixsterne verwenden; allerdings sollten sie hell genug sein und relativ dicht nebeneinander und nahe der Ekliptik stehen.

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2  Vorschläge zum Vorgehen

Das konkrete Vorgehen soll für Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar sein, die gerade den Sinussatz am ebenen Dreieck verstanden haben und den Dreisatz sicher beherrschen; jüngere Schüler können die Anwendung des Sinussatzes möglicherweise durch eine Dreieckskonstruktion ersetzen, die aber sehr präzise sein muss, da der Parallaxenwinkel naturgemäß recht klein ist. Kenntnisse über astronomische Koordinatensysteme oder sphärische Trigonometrie sind nicht nötig. Dagegen wird darauf Wert gelegt, dass durch manuelle Tätigkeit an einem räumlichen Modell (Globus mit aufgesetztem Horizontsystem) alle Schritte anschaulich werden. Selbstverständlich kann man das Projekt zum Anlass nehmen, weitere Kenntnisse zu erwerben und alle nötigen Werte auch zu berechnen.
 

2.1 Fotos

Die betreffende Sterngegend im Sternbild Stier bietet am Abend des 12.11.2000 von Mitteleuropa aus etwa folgenden Anblick:

Mond, Jupiter, Saturn am 12.11.2000
Abbildung aus: T. Neckel: Aktuelle Hinweise für den Beobachter, Sterne und Weltraum 11/2000, Seite 960 (Original farbig)

Von südlicheren Standpunkten aus gesehen erscheint das Bild gegenüber dem Horizont natürlich gedreht.

Da der Winkelabstand Jupiter-Saturn etwa 10° beträgt, ist eine Brennweite  f = 15 cm bei Kleinbildformat 24mm x 36mm optimal. Die Auflösung von Standardfilmen reicht völlig; egal ob Farbfilm oder Schwarz-Weiß. Die Belichtungszeit soll so gewählt sein, dass Saturn gerade sicher zu erkennen ist, der Mond aber nicht unnötig überstrahlt wird, damit der Mondrand sicher zu erkennen ist; Belichtungszeiten zwischen 0,1s und 10 s bei mittlerer Blende sollten passen, sind allerdings von der momentanen Beschaffenheit der Atmosphäre (Dunst!) abhängig, daher sind zu jedem Aufnahmezeitpunkt immer mehrere Aufnahmen mit unterschiedlichen Belichtungszeiten nötig; Probeaufnahmen rechtzeitig vor dem Aufnahmetermin sind sinnvoll; die Qualität immer am Negativ beurteilen! Bitte ein Stativ und einen Drahtauslöser benutzen.

Unbedingt müssen die Aufnahmezeitpunkte und die benutzte Zonenzeit notiert werden!
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2.2 Winkelmessungen

2.2.1 Azimut und Höhe des Mondes

Während wir für das Verfahren mindestens zwei Fotos von verschiedenen Standorten brauchen, reicht es, wenn zu jedem Aufnahmezeitpunkt die Position des Mondes im Horizontsystem an einem Standort gemessen wird. Daraus lässt sich später der Winkel zwischen den Richtungen zum Mond  und zum zweiten Aufnahmeort mit Hilfe eines Globus ermitteln.

Das kann so funktionieren: Man legt irgendeine ebene (leichte, dünne.., siehe 3.2) Platte horizontal (Wasserwaage, Dosenlibelle, Untertasse voll Wasser..) auf eine feste Unterlage, markiert mit Hilfe eines Kompasses die Nord-Süd-Richtung darauf, befestigt mit Knetgummi auf dieser Linie das Ende eines leichten dünnen Stäbchens (Schaschlik-Spieß) und richtet das Stäbchen genau auf den Mond (erkennbar daran, dass der Mond keinen Schatten des Stäbchens mehr wirft). Dann kann man den Höhenwinkel h und den Azimutwinkel g (das ist die "Himmelsrichtung") mit einem Geodreieck messen; siehe Zeichnung. Natürlich müssen diese Werte zusammen mit dem Aufnahmezeitpunkt notiert werden.

Messung von Azimut und Höhe; Prinzip   Messgerät für Azimut und Höhe
Die Grundplatte des Winkelmessgerätes auf dem Foto ist eine Winkelscheibe  für Optik-Schülerübungen.

Natürlich kann man für die Messungen von Azimut und Höhe auch einen vertikal stehenden Schattenstab benutzen. Dann lässt sich der Azimutwinkel direkt auf der Winkelscheibe ablesen; der Höhenwinkel muss aus der Schattenlänge und der Stablänge berechnet oder an einem Faden von der Stabspitze zum Ende des Stabschattens abgelesen werden. Auch einen Theodolithen kann man benutzen, falls dieser erlaubt, einen hinreichend großen Höhenwinkel zu messen.

Falls Azimut und Höhe nicht messbar sind, kann man sie aus Tabellenwerten rekonstruieren. Das gelingt etwas mühsam mit den  Formeln der sphärischen Geometrie. Zwar nicht so genau, aber anschaulicher und für Schüler nicht nur manuell begreifbarer ist ein Kartonmodell, wie es in der folgenden Abbildung zu sehen ist:
Kartonmodell für Azimut und Höhe
Es zeigt passend zu der in Abschnitt 4 gezeigten Aufnahme die Mondposition (rotes Kügelchen) von Thessaloniki aus am 12.11.2000 um 20.00 Uhr Weltzeit. Dazu wurde auf der Horizontebene zunächst ein Sektor der Äquatorebene im Winkel (90°-geographische Breite) geneigt aufgeklebt. Auf ihr sind aus gelbem Karton zwei orthogonal zueinander stehende Sektoren für den Stundenwinkel des Mondes und seine Deklination befestigt. Die Deklination des Mondes (hier 18°) erhält man nach Interpolation aus einem astronomischen Jahrbuch (z.B. Himmeljahr 2000, Kosmos-Verlag), ebenso die Rektaszension (hier 4h 08min).

Der Stundenwinkel ergibt sich dann aus der Beziehung
Stundenwinkel = Sternzeit - Rektaszension

Mit der Sternzeit 1h 01min, die man ebenfalls einem Jahrbuch entnimmt und auf den Aufnahmeort und -zeitpunkt umrechnet, erhält man den Stundenwinkel von -3h 07min, wie in der Abbildung näherungsweise abzulesen.

Dieses Kartonmodell kann man anstelle der Winkelscheibe mit dem Schaschlikstäbchen zur Auswertung (siehe Abschnitt 3.2) direkt auf den Globus kleben. Prinzipiell macht man dabei allerdings einen kleinen Fehler: Deklination und Rektaszension werden bezogen auf einen Beobachter im Erdmittelpunkt angegeben, während das Kartonmodell auf der Erdoberfläche sitzt. Der so ermittelte Basiswinkel wird also entsprechend verfälscht, der Fehler dürfte aber angesichts der begrenzten Genauigkeit des Modells zu vernachlässigen sein.

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2.2.2 Winkelabstand Jupiter-Saturn

Für diese Messung kann man sich aus Stativmaterial und Längenmessgeräten aus der Physik-Sammlung schnell einen "Jakobsstab" zusammenbauen:

Jakobstab, Prinzip   Jakobstab aus Stativmaterial und Schiebelehre

Das Durchblicksloch sollte möglichst klein sein. Man schaut durch das Loch und verschiebt die Markierungen auf dem Querstab so lange, bis die Peilung zu Jupiter bzw. Saturn passt. Dann lässt sich der Winkel d messen bzw. errechnen.
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3 Auswerteverfahren

3.1 Entfernung der Aufnahmestandorte

Ich schlage vor, die Strecke AB mit Hilfe einer großen Schiebelehre auf einem Globus auszumessen und mit Hilfe des Globus-Maßstabes auszurechnen.
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3.2 Basiswinkel

Mit doppelseitigem Klebeband wird auf einem Globus am Aufnahmeort A die Platte angeklebt, mit der Höhe und Azimut des Mondes bestimmt wurden; auf A fällt der Fußpunkt A' des Stäbchens. Dann liegt die Platte in der Tangentialebene an den Globus in A, also in der Horizontebene von A. Natürlich muss auch die Nord-Süd-Linie die Tangente an den Längengkreis durch A bilden. Wenn nun Azimut und Höhe wieder passend eingestellt sind, so wird die Position des Mondes relativ zum Globus bei der Aufnahme reproduziert. Nun wird die Schiebelehre aus 3.1 noch einmal angelegt. Ihre Kante bildet mit dem Stäbchen den gesuchten Winkel a, der nun mit einem Geodreieck gemessen werden kann.
Basiswinkel    

Basiswinkel und Entfernung
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3.3 Parallaxenwinkel des Mondes

Zunächst braucht man auf dem Foto eine Winkelskala. Dazu misst man auf dem Foto den Abstand der Bilder von Jupiter und Saturn und berechnet mit dem in 2.2.2 gemessenen Winkel g den Umrechnungsfaktor von Längenabständen auf dem Foto zu  Winkelabständen am Himmel. Nun legt man je ein Foto von A und B so übereinander, dass Jupiter und Saturn aufeinander liegen. Die Mondbilder sind gegeneinander verschoben; diese Verschiebung kann man messen und nun in den gesuchten Winkel p umrechnen. Voraussetzung dabei ist natürlich, dass man Jupiter und Saturn als unendlich weit entfernt annehmen kann.

Kontrolle: Der Winkeldurchmesser des Mondes muss etwa 0,5° betragen.

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3.4 Mondentfernung

Die Entfernung BM ergibt sich nun leicht aus dem Sinussatz: BM / sin a =  AB / sin p
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3.5 Fehlerbetrachtung

Hier sind dem Forscherdrang keine Grenzen gesetzt. Schön wäre, wenn sich als kritische Größe der Parallaxenwinkel herausstellen würde, denn der hat bei astronomischen Entfernungsmessungen immer die größten Sorgen bereitet. Dagegen ist der Basiswinkel relativ unkritisch, besonders wenn er in der Nähe von 90° liegt.
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4. Messungen

4.1 ...am 12.11.2000

Am 11.12. 2000 standen 9 Kollegen in Brasilien, Südafrika, Griechenland und Deutschland mit ihren Schülern bereit, um Aufnahmen zu machen. Allerdings spielte das Wetter nur in Thessaloniki und Johannesburg mit: um 20 Uhr UT und um 21 Uhr UT gelangen Max Ruf (Deutsche Schule Johannesburg) und Wolfgang Hofbauer (Deutsche Schule Thessaloniki) auswertbare Aufnahmen.

Die folgenden vier Abbildungen bilden zwei Paare: jeweils die erste zeigt die übermittelte Aufnahme von 20 Uhr UT, nur ergänzt mit den Aufnahmedaten; in der jeweils zweiten ist das Original zu einer Schwarz-Weiß-Graphik verarbeitet worden. Der Grauton, bei dem die Entscheidung zwischen Schwarz und Weiß liegt, wurde dazu so gewählt, dass der Mondrand optimal zu erkennen ist. Damit die Bilder von Jupiter und Saturn dabei nicht verloren gingen, wurden sie vorher retuschiert, aber natürlich nicht verschoben.

Die Graphiken werden hier mit einer Breite von 750 Pixeln wiedergegeben. Zur Auswertung ist es vielleicht sinvoll, die Bilder in voller Auflösung zu nutzen.

Den Winkelabstand Jupiter - Saturn (siehe oben 2.2.2) hat Max Ruf zu g = 10,5° gemessen.
Die geographischen Koordinaten der Aufnahmeorte sind:
Johannesburg: 26° 12' südl. Breite, 28° 06' östl. Länge
Thessaloniki:  40° 36' nördl. Breite, 23° 06' östl. Länge

12.11.2000, 20.00 UT, Johannesburg

12.11.2000; 20.00 UT, Johannesburg, bearbeitet
 

12.11.2000, 20.00 Uhr UT, Thessaloniki

12.11.2000, 20.00 Uhr UT, Thessaloniki, bearbeitet
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4.2 ...am 9.12. 2000

Am 9.12. gelang von allen Partnern außerhalb Deutschlands nur Wolfgang Hofbauer in Thessaloniki ein Foto durch ein "2%-Wolkenloch", das exakt um 20 Uhr UT das passende Stück Himmel freigab. Für die Messung von Azimut und Höhe war es zu klein. In Deutschland war gutes Wetter; die zweite Aufnahme stammt vom selben Zeitpunkt aus Neumünster (Physik-AG der Immanuel-Kant-Schule).

Den Winkelabstand Jupiter - Saturn (siehe oben 2.2.2) hat Roland Schafitel in Meldorf zu 9,2° gemessen.
Die geographischen Koordinaten der Aufnahmeorte sind:
Thessaloniki:  40° 36' nördl. Breite, 23° 06' östl. Länge
Neumünster:   54° 06' nördl. Breite, 09° 59' östl. Länge
Mondposition von Neumünster aus: Azimut: 44° von Süd nach Ost; Höhe 46°

Hier die beiden Aufnahmen unbearbeitet als Positive:

Thessaloniki:
9.12.2000, 20.00 UT, Thessaloniki

Neumünster:
9.12.2000; 20.00 UT, Neumünster

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5 Auswertung

5.1 Mondparallaxe direkt vom Bildschirm

In der folgenden Montage sind die beiden Aufnahmen aus Abschnitt 4.1 so gedreht und zentrisch gestreckt worden, dass die Verbindungsstrecken Jupiter-Saturn horizontal liegen und gleich lang sind. Dadurch lässt sich die Mondparallaxe nun am Bildschirm ermitteln:
a) Markiere auf dem Bildschirm mit Folienschreiber die Positionen von Jupiter, Saturn und Mond in der oberen Aufnahme.
b) Verändere nicht die Position deines Kopfes; schiebe das zweite Bild mit Hilfe der scroll-Leiste auf dem Bildschirm so, dass Jupiter und Saturn auf die Marken passen, zeichne den zweiten Mond auf den Bildschirm. Wenn die scroll-Funktion zu grob arbeitet, kopiere das Bild zuerst auf eine leere neue Seite eines Webseiten-Editors oder eines Bildbearbeitungsprogramms, verfahre dann genauso.
c) Miss auf dem Bildschirm den Abstand Jupiter-Saturn und den Abstand der Mondbilder.
d) Der Abstand Jupiter-Saturn entspricht einem Winkelabstand von 10,5°. Berechne per Dreisatz den Winkelabstand p der beiden Mondbilder.

12.11.2000, 20.00 UT, Johannesburg und Thessaloniki montiert
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5.2 Mondparallaxe von ausgedruckten Bildern

Entweder werden die Ausdrucke durch die entsprechende Funktion des Druckprogramms auf gleichen Abstand Jupiter-Saturn gebracht, oder man verwendet dazu einen Fotokopierer: Ein Bild wird auf Folie kopiert oder per Hand übertragen, dann werden die Bilder übereinandergelegt, und wie in 5.1 beschrieben wird die Mondparallaxe bestimmt.
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5.3 Ergebnisse

5.3.1 Gelehrtenschule Meldorf

Die Mondentfernung

An dem Projekt nahmen sowohl Johannesburger (Südafrika) als auch Griechen aus Thessaloniki teil; dort wurden zur selben Zeit Mond, Jupiter und Saturn fotografiert. Nachdem über Internet die Bilder ausgetauscht waren, konnten eifrige Schüler und (teilweise genervte) Lehrer die entsprechenden Winkel und somit schließlich die Entfernung des Mondes von der Erde berechnen.
Obwohl die MGS-Schüler der 6. bis 9. Schuljahrgänge den Stoff, den sie für die Berechnung der Entfernung brauchten, erst in der Oberstufe bekommen werden, scheute Ihr Lehrer, Herr Schafitel, nicht davor zurück, ihnen den Sinussatz beizubringen.
Zuerst wurde der Winkel zwischen Saturn und Jupiter mit Hilfe eines Jakobsstabes ausgemessen (10,5 Grad). Dann wurde der Winkel zwischen den Mondbildern auf den Fotos von den beiden Orten durch die Überlagerung zweier Folien ermittelt (1,1 Grad). Der Abstand zwischen Johannesburg und Thessaloniki beträgt - am Globus gemessen - 7106 km. Aus diesen Werten kann mit Hilfe des Sinussatzes die Entfernung zum Mond berechnet werden. Sie beträgt demnach 377.000 km. (jk)
 
Christopher Rauch am C8 der Astro-AG der Meldorfer Gelehrtenschule während der Mondfoto-Aktion am 9.12.2000 (Meldorfer Zeitung, 11.12.2000)

 
 
 

5.3.2 Immanuel-Kant-Schule Neumünster

In der Physik-AG der IKS Neumünster haben wir nach der in 5.2 beschriebenen Methode die beiden Fotos vom 12.11.2000  ausgedruckt und übereinandergelegt. Jupiter und Saturn hatten dort einen Abstand von 171 mm; die beiden Mondpositionen lagen 18 mm voneinander entfernt. Daraus ergab sich ein Parallaxenwinkel
p = 10,5° · (18 / 171) =  1,1° .
 
Rekonstruktion der Mondentfernung
Am großen Globus aus dem Erdkunde-Fachraum haben wir als nächstes die Richtung zum Mond von Thessaloniki aus mit Hilfe der Winkelmessscheibe rekonstruiert... 
... und den Winkel Johannesburg-Thessaloniki-Mond zu 103° gemessen. 

Gleichzeitig  ergab sich der Abstand Johannesburg-Thessaloniki zu 36,4 cm bei einem Globusdurchmesser von 63,2 cm. Mit dem Erddurchmesser von 12740 km konnten wir die wahre Entfernung Johannesburg-Thessaloniki zu
JT = 12 740 km · (36,4 / 63,2) = 7 340 km errechnen.

Messung des Basiswinkels und der Basislänge
Berechnung der Mondentfernung
Um den Sinussatz anwenden zu können, brauchten wir noch den Winkel Mond-Johannesburg-Thessaloniki.
Er betrug 180° - 103° - 1,1° = 75,9°.
Nun konnten wir alles in den Sinussatz einsetzen und erhielten die Entfernung Thessaloniki- Mond:
TM = (sin 75,9° / sin 1,1°) · 7340 km = 372 500 km. Fertig!

(Später haben wir erfahren, dass der von uns benutzte Messwert von 85° für den Azimutwinkel um 10° zu groß war; er beträgt nur 75°. Dadurch muss mit einem kleineren Basiswinkel gerechnet werden. Da dieser nahe 90° liegt, wo die Sinuskurve nur eine geringe Steigung hat, wirkt sich dieser Fehler aber kaum auf das Ergebnis aus. Probiert es selbst mal aus!)

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6. Tipps

Literatur zur Mondentfernung:

Otto Zimmermann: Astronomisches Praktikum I, SuW-Taschenbuch 8, Verlag Sterne und Weltraum; Neudruck Bibliographisches Institut Mannheim / Wien / Zürich 1977
Dort findet man vier Methoden zur Messung der Mondentfernung, bei denen man nur an einem Ort der Erde beobachten muss:
- aus dem Erdschattendurchmesser auf dem Mond,
- aus der Änderung der Mondgröße mit der Höhe,
- aus der parallaktischen Libration,
- aus Sternbedeckungen durch den Mond

M. Soffel, J. Müller: Lasermessungen der Monddistanz, Sterne und Weltraum 7/1997, Seiten 646-651
Die Autoren erläutern das Messverfahren und stellen weitreichende Folgerungen dar, die man aus dem auf wenige Zentimeter genauen Messergebnis ziehen kann.

Ein Link:

Professor Udo Backhaus, Uni Koblenz, hat ebenfalls Ende 2000 eine Initiative zur Messung der Mondentfernung per Triangulation gestartet, siehe  http://www.uni-koblenz.de/~backhaus/moonproject.htm

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