Mathematik bei Peter Meyer


Beispiele für Ableitungen


Diese Seite enthält einige Beispiele für Ableitungen verschiedener Funktionen. Zur Zeit sind die folgenden Beispielgruppen verfügbar:

Weitere Beispiele zur Ableitung mit Hilfe der Produktregel der Differentiation findet man in der Datei abl-pro.htm.


ganzrationale Funktionen, abgeleitet nach Potenzregel
f (x)
f ' (x)
x2 2x
x3 3x2
x4 4x3
3x2 6x
4x3 12x2
25x4 100x3
x2 - 5x + 1 2x - 5
x2 + 7x - 9 2x + 7
5x2 + 2x 10x + 2
10x3 - 7x2 + 4x 30x2 - 14x + 4


ganzrationale Funktionen, abgeleitet nach Produktregel
f (x)
f ' (x)
x (x + 7)     1 · (x + 7) + x · 1
= 2x + 7
(x + 1) (x + 7)     1 · (x + 7) + (x + 1) · 1
= x + 7 + x + 1
= 2x + 8
(x2 + 1) (x + 7)     2x · (x + 7) + (x2 + 1) · 1
= 3x2 + 14x + 1
(x2 + x) (x + 7)     (2x + 1) · (x + 7) + (x2 + x) · 1
= 2x2 + x + 14x + 7+ x 2 + x
= 3x2 + 16x + 7
(x2 + x) (x2 + 7)     (2x + 1) (x2 + 7) + (x2 + x) · 2x
= 2x3 + x2 + 14x + 7 + 2x3 + 2x2
= 4x3 + 3x2 + 14x + 7
(x2 - 3) (x4 + 3x3)    2x (x4 + 3x3) + (x2 - 3)(4x3 + 9x2)
= 2x5 + 6x4 + 4x5 - 12x3 + 9x4 - 27x2
= 6x5 + 15x4 - 12x3 - 27x2
(4x3 - 2x)(5x3 - 18x2)    (12x2 - 2)(5x3 - 18x2) + (4x3 - 2x)(15x2 - 36x)
= 60x5 - 10x3 - 216x4 + 36x2 + 60x5 - 30x3 - 144x4 + 72x2
= 120x5 - 360x4 - 40x3 + 108x2
(3x3 - 5x2)(x3 + 2)    (9x2 - 10x)(x3 + 2) + (3x3 - 5x2)3x2
= 9x5 - 10x4 + 18x2 - 20 x + 9x5 - 15x4
= 18x5 - 25x4 + 18x2 - 20x


ganzrationale Funktionen, abgeleitet nach Kettenregel
f (x)
f ' (x)
(2x - 3)5    5(2x - 3) 4 · 2
= 10(2x - 3) 4
(0,5x + 5) 2    2(0,5x + 5) · 0,5
= 0,5x + 5
(x2 - 3) 5    5(x2 - 3) 42x
= 10x(x2 - 3) 4
(3x2 - 5) 2    2(3x2 - 5) 16x
= 12x(3x2 - 5)
(x3 + 1) 4    4(x3 + 1) 33x 2
= 12x2 (x3 + 1) 3
(x4 + 1) 3    3(x4 + 1) 34x 3
= 12x3 (x4 + 1) 2
(4x5 + 3x) 3    3(4x5 + 3x) 2(20x 4+3)
= (60x4+9)(4x 5 + 3x) 2
(7 - 8x)9    9(7 - 8x)8(- 8)
= -72(7 - 8x)8
(8 - 7x)9    9(8 - 7x)8(- 7)
= -63(7 - 8x)8
(x2 + 6x + 7) 4    4(x2 + 6x + 7) 3(2x+6)
= (8x+24)(x2 + 6x + 7) 3


gebrochenrationale Funktionen, abgeleitet nach Quotientenregel
f (x)
f ' (x)
(7x + 5) / (x + 2)    (7(x + 2) - (7x + 5)1) / (x + 2) 2
= (7x + 14 - 7x - 5) / (x + 2)2
= 9 / (x + 2)2
(3x - 4) / (2x - 1)    (3(2x - 1) - (3x - 4)2) / (2x - 1) 2
= (6x - 3 - 6x + 8) / (2x - 1)2
= 5 / (2x - 1)2
(x2 + 3) / (x - 1)    (2x(x - 1) - (x2 + 3)1) / (x - 1)2
= (2x2 - 2x - x 2 - 3) / (x - 1) 2
= (x2 - 2x - 3) / (x - 1) 2


trigonometrische Funktionen
f (x)
f ' (x)
sin x cos x
sin (2x) 2 cos (2x)
sin x2 2x cos x2
sin (x-4) cos (x - 4)
sin (2x+4) 2 cos (2x+4)
sin (x2-4) 2x cox ( x2-4)
sin ( 1/x ) -1/x2 cos ( 1/x )
sin ( 1/x2 ) -2/x3 cos ( 1/x2 )
sin ( 1/(x+1) ) -1/(x+1)2 cos ( 1/(x+1) )
3 cos x - 3 sin x
6x - 5 cos x 6 + 5 sin x
cos x/4 -1/4 sin (x/4)
3/4 - cos x/4 1/4 sin (x/4)
cos2 x -2 sin x cos x
1/ cos x sin x / cos2 x
tan (6x+1) 6 / cos2 ( 6x+1)
cos (1/x) 1/( x2 sin2 (1/x) )


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© 1999 Peter Meyer
letzte Änderung: 13.12.11/Bu nach einem Hinweis von Gregor
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