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Charakteristische Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen

Hinweise:

Diese Seite enthält Auszüge aus Kurvendiskussionen gebrochen rationaler Funktionen. Da sich Verfahren und Bezeichnungen für Kurvendiskussion von Buch zu Buch und Lehrer zu Lehrer deutlich unterscheiden können, sind hier jeweils nur einige der Eigenschaften der betreffenden Funktionen aufgeführt: Definitionslücken, Nullstellen, die erste und zweite Ableitung, relative Extrema und Wendepunkte. Außerdem ist jeweils eine kleine Wertetabelle (auf zwei Dezimalen genau) angegeben.

Die Reihenfolge der Aufgaben entspricht nicht dem Schwierigkeitsgrad!

(Sollte die Anzeige die Umlaute nicht richtig anzeigen: Ansicht/Codierung/Unicode)

Beispiel Nr. 1

Funktionsvorschrift

faktorisierte Funktionsvorschrift

vereinfachte Funktionsvorschrift

für gilt:

Definitionslücken

- Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = 1
- hebbare Definitionslücke bei x = - 3
Ergänzung:

Nullstellen

x = 2

1. Ableitung

2. Ableitung

Lösung der 1. und 2. Ableitung mit MuPAD:

relative Extrema

Hochpunkt

Wendepunkte

Wendepunkt

Wertetabelle und Zeichnung

x	f(x)
- 5	- 0,19
- 4	- 0,24
- 3	n. def.
- 2	- 0,44
- 1	- 0,75
0	- 2,00
1	n. def.
2	0,00
3	0,25
4	0,22
5	0,19

die Lücke wird in der Computerzeichnung nicht richtig dargestellt.

Beispiel Nr. 2

Funktionsvorschrift
faktorisierte Funktionsvorschrift
Definitionslücken	- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 1 - Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 5
Nullstellen	x = 3
1. Ableitung
2. Ableitung
Berechnungen mit MuPAD: Erläuterungen: Die Berechnung des Zählers geschieht über numer, damit der Zähler ausgerechnet dargestellt wird.
relative Extrema	keine
Wendepunkte	Wendepunkt W ( 3 \| 0 )
Wertetabelle und Zeichnung	x f(x) - 5 - 0,13 - 4 - 0,16 - 3 - 0,19 - 2 - 0,24 - 1 - 0,33 0 - 0,60 1 n. def. 2 0,33 3 0,00 4 - 0,33 5 n. def.

Beispiel Nr. 3

Funktionsvorschrift

faktorisierte Funktionsvorschrift

Definitionslücken

- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = - 1
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 3

Nullstellen

x = 2

1. Ableitung

2. Ableitung

relative Extrema

Hochpunkt H ( 2 | 0 )
Tiefpunkt T ( 5 | 3/4 )

Wendepunkte

Wendepunkt W ( 6,7 | 0,8 )
Hinweis: Die x-Koordinate des Wendepunktes muss nicht selbst berechnet werden!

Wertetabelle und Zeichnung:

x	f(x)
- 5	1,53
- 4	1,71
- 3	2,08
- 2	3,20
- 1	n. def.
0	- 1,33
1	- 0,25
2	0,00
3	n. def.
4	0,80
5	0,75

Beispiel Nr. 4

Funktionsvorschrift

Definitionslücken

Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 3

Nullstellen

keine

1. Ableitung

2. Ableitung

relative Extrema

Hochpunkt H ( - 0,16 | - 0,32 )
Tiefpunkt T ( 6,16 | 12,32 )

Wendepunkte

keine

Wertetabelle und Zeichnung:

x	f(x)
- 5	- 3,25
- 4	- 2,43
- 3	- 1,67
- 2	- 1,00
- 1	- 0,50
0	- 0,33
1	- 1,00
2	- 5,00
3	n. def.
4	17,00
5	13,00

Beispiel Nr. 5

Funktionsvorschrift

faktorisierte Funktionsvorschrift

Definitionslücken

- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = - 1
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x= +1

Nullstellen

x = -4

1. Ableitung

2. Ableitung

relative Extrema

Hochpunkt H ( 0 | - 1 )

Wendepunkte

keine

Wertetabelle und Zeichnung

x	f(x)
- 5	1,08
- 4	1,13
- 3	1,25
- 2	1,67
- 1	n. def.
0	- 1
1	n. def.
2	1,67
3	1,25
4	1,13
5	1,08

Beispiel Nr. 6

Funktionsvorschrift

Definitionslücken

Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 2

Nullstellen

x = - 4

1. Ableitung

2. Ableitung

relative Extrema

keine

Wendepunkte

keine

Wertetabelle und Zeichnung

x	f(x)
- 5	0,14
- 4	0,00
- 3	- 0,20
- 2	- 0,50
- 1	- 1,00
0	- 2,00
1	- 5,00
2	n. def.
3	7,00
4	4,00
5	3,00

Beispiel Nr. 7

Funktionsvorschrift

faktorisierte
Funktionsvorschrift

Definitionslücken

- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = - 4
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 6

Nullstellen

x = 1

1. Ableitung

2. Ableitung

relative Extrema

keine

Wendepunkte

Wendepunkt W ( 1 | 0 )

Hinweis:
Nullstelle des Zählers der 2. Ableitung geraten. Polynomdivision ergibt:
(2x³ - 6x² + 156x - 152) : (x - 1) = 2x² - 4x + 152

Wertetabelle und Zeichnung

x	f(x)
- 5	- 0,55
- 4	n. def.
- 3	0,44
- 2	0,19
- 1	0,10
0	0,04
1	0,00
2	- 0,04
3	- 0,10
4	- 0,19
5	- 0,44