Gekürztes Gauß-Verfahren

Diese Methode ist nicht neu. Sie ist manchmal kürzer und bequemer, als das bekannte Gauß-Verfahren. Hier wird nur der Anfang der Methode geschildert. Sonder- und Ausnahmefälle werden unten genannt.

Erstes Beispiel. Gegeben ist das System

-5x₁ - 3x₂ + 5x₃ = 21
2x₁ + x₂ - x₃ = -3
-3x₁ + 3x₂ + x₃ = -7

Wir bilden die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems:

(A)

Wir nennen das erste Element links oben (hier -5) Pivotelement. Die Zeile I wird unverändert übernommen. Die jeweiligen ersten Elemente in der 2. u 3. Zeile werden durch Null ersetzt.

(B)

Die verbliebenen 6 Elemente von (B) werden nun folgendermaßen berechnet: Für jedes Sternchen bildet man in der erweiterten Matrix (A) ein Rechteck mit oberer linker Spitze im Pivotelement und unterer rechter Spitze im zu ersetzenden Element. Man berechnet die so entstandene Determinante (Pivotieren) und trägt das Ergebnis an der entsprechenden Stelle (in B mit Sternchen) ein. Im Beispiel:

(C)

Wir nennen nun 1 (in der Mitte) neues Pivotelement, übertragen die Zeilen 1 und 2 unverändert und unter dem Pivotelement tragen wir (in der Zeile 3) wieder eine Null ein. Folgende Matrix entsteht:

(D)

Die zwei Elemente, die noch fehlen, berechnen wir ebenfalls durch "Pivotieren" um das Element 1 (in der Matrix (C)). Damit ersetzen wir die 2 "Sternchen".

(E)

Das Gleichungssystem ist nun dreieckig und kann einfach gelöst werden. x₃ =5; x₂= -2; x₁ =2.

Hilfestellung:

Zusatz:

Man kann die Matrix (E) mit der Determinantenmethode weiter behandeln:

Bemerkungen.

a) Es gibt keine Divisionen, nur Multiplikationen. Brüche werden also vermieden.

b) Jede Zeile (auch in den Zwischenergebnissen) kann man mit einer Zahl durchmultiplizieren oder durchdividieren. Z.B. hätten wir bei der letzten Matrix die letzte Zeile mit -110 kürzen können.

c) Ist das erste Element in der 1. Zeile die Null, so soll man diese Zeile mit einer anderen Zeile vertauschen! Diese Prozedur gilt auch bei Zwischenschritten.

d) Bei einem Computerprogramm wird immer diejenige Zeile als erste gewählt, in der das Pivot-element den größten Betrag hat. Dies gilt bei jedem Zwischenschritt.