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Hypothesentests, Irrtumswahrscheinlichkeit

Hinweis:
Als Irrtumswahrscheinlichkeit a_max bezeichne ich die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, d.h. die irrtümliche Ablehnung einer (richtigen) Hypothese.

Aufgaben

1.	Die Beteiligung bei einer Wahl soll mindestens 70% betragen. Zur Überprüfung dieser Behauptung werden am Wahltag 25 (!) Wahlberechtigte befragt. Wenn 20 oder mehr von ihnen erklären, daß sie gewählt haben bzw. noch wählen werden, soll die Behauptung akzeptiert werden. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für diesen Test? Wie müßte der Annahmebereich gewählt werden, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% getragen soll?
2.	Mindestens 60% der jemals von mir unterrichteten Schüler halten bzw. hielten meine Noten für zu schlecht. Zur Kontrolle dieser ewas befremdlichen Aussage meines Mathematiklehrers möchte ich 50 seiner Schüler befragen. Seine Aussage soll als wahr angenommen werden, wenn mindestens 30 der Befragten ihre Mathematik-Noten für zu schlecht halten. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für diesen Test? Wie müßte der Ablehnungsbereich gewählt werden, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 10% getragen soll?
3.	30% aller Hausfrauen/-männer sehen durchschnittlich mehr als 3 Stunden Fernsehen pro Tag. Diese Hypothese soll angenommen werden, wenn sich von 100 Befragten zwischen 24 und 36 (einschließich) Personen zu einem derartigen Fernsehkonsum bekennen. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für diesen Test? Wie müßte der Annahmebereich gewählt werden, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit 5% getragen soll?
4.	Aus früheren Erhebungen ist bekannt, daß 27% der Verbraucher das Produkt Wisch-Wasch kaufen würden. Die Werbeagentur KAUFRAUSCH behauptet, diese Quote auf mindestens 40% steigern zu können. Nach einer intensiven Werbeaktion von KAUFRAUSCH geben 47 von 150 Befragten an, Wisch-Wasch kaufen zu wollen. Kann aus diesen Daten mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% geschossen werden, daß das genannte Ziel nicht erreicht wurde? (Hinweis: Verwende die Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung)
5.	Jemand verkauft ein Roulette-System, das eine mindestens 80%-ige Gewinnwahrscheinlichkeit besitzen soll. Mit Hilfe einer Stichprobe von 78 bekannten Spielausgängen soll diese Behauptung überprüft werden. Bestimme die Ablehnungsbereiche für die Irrtumswahrscheinlichkeiten a) 10 %, b) 5 % und c) 1 % Hinweis: Verwende die Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur als Approximation für die Binomialverteilung!

Lösungen

1. a_max » 80,65 %
Um die angegebene Irrtumswahrscheinlichkeit zu erreichen müßte der Annahmebereich
A = { 14 ; ... ; 25 } gewählt werden.

2. a_max » 43,90 %
Um die angegebene Irrtumswahrscheinlichkeit zu erreichen müßte der Ablehnungsbereich
B = { 0 ; ... ; 25 } gewählt werden.

3. a_max » 15,54 %
Um die angegebene Irrtumswahrscheinlichkeit zu erreichen müßte der Annahmebereich
A = { 21 ; ... ; 39 } gewählt werden.

4. Nein, dieser Schluß kann nicht gezogen werden, denn der Ablehnungsbereich für die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit wäre B = {0; 1; 2; ...; 45}.

5. Die Ablehnungsbereiche sind: a) B = { 0; 1; ...; 57 }, b) B = { 0; 1; ...; 56 } und c) B = { 0; 1; ...; 53 }.

1.	a_max » 80,65 % Um die angegebene Irrtumswahrscheinlichkeit zu erreichen müßte der Annahmebereich A = { 14 ; ... ; 25 } gewählt werden.
2.	a_max » 43,90 % Um die angegebene Irrtumswahrscheinlichkeit zu erreichen müßte der Ablehnungsbereich B = { 0 ; ... ; 25 } gewählt werden.
3.	a_max » 15,54 % Um die angegebene Irrtumswahrscheinlichkeit zu erreichen müßte der Annahmebereich A = { 21 ; ... ; 39 } gewählt werden.
4.	Nein, dieser Schluß kann nicht gezogen werden, denn der Ablehnungsbereich für die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit wäre B = {0; 1; 2; ...; 45}.
5.	Die Ablehnungsbereiche sind: a) B = { 0; 1; ...; 57 }, b) B = { 0; 1; ...; 56 } und c) B = { 0; 1; ...; 53 }.