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Punkt-Steigungsprobleme

Eine Gerade im Koordinatensystem wird durch ihre Steigung und einen auf der Geraden liegenden Punkt eindeutig beschrieben. Als Punkt-Steigungsprobleme bezeichne ich solche Aufgaben, bei denen aus den Koordinaten eines Punktes und der Steigung einer Geraden die Gleichung der betreffenden Geraden bestimmt werden soll. Diese Aufgaben können in einfachen und in eingekleideten Formen gestellt werden.

Diese Seite enthält:

Beispiele für einfache Aufgaben mit den jeweiligen Ergebnissen
Zur Erinnerung:
Im Unterricht wurden zwei Lösungswege behandelt: Einsetzen in die Normalform und Einsetzen in die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung
Beispiele für eingekleidete Aufgaben mit Hinweisen zu den erforderlichen Lösungsschritten mit den jeweiligen Ergebnissen
Antwort auf die Frage: "Wie erstellt man eigene Übungsaufgaben?"
Hinweise zum Gebrauch von Tabellenkalkulationprogrammen

Im weiteren Verlauf des Analysis-Unterrichts wird das Punkt-Steigungsproblem wieder auftauchen, wenn die Gleichungen von "Tangenten an Kurven" bestimmt werden sollen. Zu einem geeigneten Zeitpunkt wird das hier angebotene Material um diesen Aufgabentyp ergänzt werden.

Beispiele für einfache Aufgaben

Beispiele für eingekleidete Aufgaben

Typ 1 Bestimme die Gleichung der Orthogonalen zu der Geraden mit y = 2x + 7, die durch den Punkt P(6|-7) verläuft. Hinweis:
Die Orthogonale zu einer Geraden mit Steigungsfaktor 2 besitzt den Steigungsfaktor -1/2.
Lösung: y = -1/2x - 4 siehe Zeichnung unten von L.Sösemann

Typ 2 Bestimme die Gleichung der Parallelen zu der Geraden mit y = 7x - 2, die durch den Punkt P(1|0) verläuft. Hinweis:
Die Parallele zu einer Geraden mit Steigungsfaktor 7 besitzt ebenfalls den Steigungsfaktor 7.
Lösung: y = 7x - 7

Typ 3 Die Orthogonale zu der Geraden mit y = -2x + 1 durch P(0|6) schneide die Gerade in F. Berechne die Koordinaten von F. Hinweis:
Die Aufgabe enthält den Typ 1 und erfordert anschließend die Lösung des Schnittproblems für die beiden Geraden.
Lösung:
Gleichung der Orthogonale durch P: y = 1/2x + 6
Schnittpunkt der beiden Geraden: F(-2|5)

Typ 4 Berechne den Abstand des Punktes A(1|2) von der Geraden mit 3x + 4y = 36 Hinweis:
Der Abstand des Punktes A von der Geraden ist der Abstand des Punktes A vom Schnittpunkt der Geraden mit der durch A verlaufenden Orthogonalen. Damit enthält diese Aufgabe den Typ 3 (zusätzlich muß die Geradengleichung zunächst in die Normalform umgeschrieben werden) anschließend muß man noch das Abstandsproblem zweier Punkte lösen.
Lösung:
Geradengleichung in Normalform: y = -3/4x +9
Gleichung der Orthogonalen durch A: y = 4/3x + 2/3
Schnittpunkt der beiden Geraden: S(4|6)
Abstand von A zu S: 5 Längeneinheiten

Typ 5 Gegeben ist ein Dreieck mit A(2|1), B(14|10) und C(4|15). Berechne die Länge der Höhe h_c. Hinweis:
Die Höhe h_c ist das Lot vom Punkt C auf die Seite c des Dreiecks (Strecke AB). Gesucht ist also der Abstand des Punktes C von der Geraden, die durch A und B verläuft. Es ist also zunächst das Zwei-Punkte-Problem zu lösen, anschließend liegt wieder eine Aufgabe von Typ 4 vor.
Lösung:
Gerade durch A und B: y = 3/4x -1/2
Orthogonale dazu durch C: y = -4/3x + 1/3
Schnittpunkt der beiden Geraden: D(10|7)
Abstand von C und D: 10 Längeneinheiten

Lösung zu Typ 1:

Wie erstellt man eigene Übungsaufgaben?

Zur Erstellung eigener Übungsaufgaben geht man von der Lösung aus, d.h. man schreibt zunächst eine beliebige Geradengleichung auf. Setzt man nun einen beliebigen Wert für x ein, so erhält man den zugehörigen y-Wert eines Punktes, der auf der betreffenden Geraden liegt.
Beispiel:
Man wählt beliebig y = 3x - 4 und x=5. Für y errechnet man 11.

Nun überträgt man den Steigungsfaktor der Geradengleichung und die Koordinaten des Punktes auf ein anderes Blatt und berechnet zu einem späteren Zeitpunkt wieder die Geradengleichung.
Durch die unterschiedliche Wahl der Ausgangszahlen (ganze Zahlen, einfache oder kompliziertere Brüche) lassen sich unterschiedlich schwere Aufgaben erzeugen. Die Aufgabe lautet also:
Bestimme die Gleichung der Geraden mit der Steigung 3, die durch den Punkt A(5|11) verläuft.

Hinweise zum Gebrauch von Tabellenkalkulatiosprogrammen

Natürlich können auch Tabellenkalkulationsprogramme (z.B. EXCEL) aus den Koordinaten eines Punktes, der auf einer Geraden liegt und dem Steigungsfaktor dieser Geraden den y-Achsenabschnitt - und damit die Geradengleichung - berechnen.
Für den y-Achsenabschnitt c einer Geraden mit der Steigung m, die durch den Punkt P₁(x₁|y₁) verläuft, gilt nämlich:
c = - mx₁ + y₁
Diese Beziehung kann man dazu benutzen:

die Lösungen gegebener Aufgaben zu kontrollieren,
Aufgaben selbst zu entwerfen
Bezieht man die Funktionen zur Bestimmung von Zufallszahlen mit ein, kann das Kalkulationsprogramm sogar selbständig Aufgaben entwerfen und lösen.
Computer

Gegeben ist eine Gerade mit der Steigung m, die durch den Punkt P verläuft. Bestimme ihre Gleichung.	Lösungen
m = -1; P(0\|1,5)	y = -x + 1,5
m = 4; P(3\|5)	y = 4x - 7
m = 7; P(-2\|14)	y = 7x + 28
m = -3; P(-6\|2,5)	y = -3x - 15,5
m = 5; P(3\|-6)	y = 5x - 21
m = 3; P(-7\|-1)	y = 3x + 20
m = -5; P(0\|2)	y = -5x + 2
m = 5; P(-8\|-4)	y = 5x + 36
m = 3; P(4\|0)	y = 3x - 12

Typ 1	Bestimme die Gleichung der Orthogonalen zu der Geraden mit y = 2x + 7, die durch den Punkt P(6\|-7) verläuft.	Hinweis: Die Orthogonale zu einer Geraden mit Steigungsfaktor 2 besitzt den Steigungsfaktor -1/2. Lösung: y = -1/2x - 4 siehe Zeichnung unten von L.Sösemann
Typ 2	Bestimme die Gleichung der Parallelen zu der Geraden mit y = 7x - 2, die durch den Punkt P(1\|0) verläuft.	Hinweis: Die Parallele zu einer Geraden mit Steigungsfaktor 7 besitzt ebenfalls den Steigungsfaktor 7. Lösung: y = 7x - 7
Typ 3	Die Orthogonale zu der Geraden mit y = -2x + 1 durch P(0\|6) schneide die Gerade in F. Berechne die Koordinaten von F.	Hinweis: Die Aufgabe enthält den Typ 1 und erfordert anschließend die Lösung des Schnittproblems für die beiden Geraden. Lösung: Gleichung der Orthogonale durch P: y = 1/2x + 6 Schnittpunkt der beiden Geraden: F(-2\|5)
Typ 4	Berechne den Abstand des Punktes A(1\|2) von der Geraden mit 3x + 4y = 36	Hinweis: Der Abstand des Punktes A von der Geraden ist der Abstand des Punktes A vom Schnittpunkt der Geraden mit der durch A verlaufenden Orthogonalen. Damit enthält diese Aufgabe den Typ 3 (zusätzlich muß die Geradengleichung zunächst in die Normalform umgeschrieben werden) anschließend muß man noch das Abstandsproblem zweier Punkte lösen. Lösung: Geradengleichung in Normalform: y = -3/4x +9 Gleichung der Orthogonalen durch A: y = 4/3x + 2/3 Schnittpunkt der beiden Geraden: S(4\|6) Abstand von A zu S: 5 Längeneinheiten
Typ 5	Gegeben ist ein Dreieck mit A(2\|1), B(14\|10) und C(4\|15). Berechne die Länge der Höhe h_c.	Hinweis: Die Höhe h_c ist das Lot vom Punkt C auf die Seite c des Dreiecks (Strecke AB). Gesucht ist also der Abstand des Punktes C von der Geraden, die durch A und B verläuft. Es ist also zunächst das Zwei-Punkte-Problem zu lösen, anschließend liegt wieder eine Aufgabe von Typ 4 vor. Lösung: Gerade durch A und B: y = 3/4x -1/2 Orthogonale dazu durch C: y = -4/3x + 1/3 Schnittpunkt der beiden Geraden: D(10\|7) Abstand von C und D: 10 Längeneinheiten

Zur Erstellung eigener Übungsaufgaben geht man von der Lösung aus, d.h. man schreibt zunächst eine beliebige Geradengleichung auf. Setzt man nun einen beliebigen Wert für x ein, so erhält man den zugehörigen y-Wert eines Punktes, der auf der betreffenden Geraden liegt.	Beispiel: Man wählt beliebig y = 3x - 4 und x=5. Für y errechnet man 11.
Nun überträgt man den Steigungsfaktor der Geradengleichung und die Koordinaten des Punktes auf ein anderes Blatt und berechnet zu einem späteren Zeitpunkt wieder die Geradengleichung. Durch die unterschiedliche Wahl der Ausgangszahlen (ganze Zahlen, einfache oder kompliziertere Brüche) lassen sich unterschiedlich schwere Aufgaben erzeugen.	Die Aufgabe lautet also: Bestimme die Gleichung der Geraden mit der Steigung 3, die durch den Punkt A(5\|11) verläuft.