=1111× 108+1111×104+1111=R(4)×
Als Repunits (repeated units) bezeichnet man Zahlen, die nur aus Einsen bestehen:
R(1):=1, R(2):=11, R(3):=111 - allgemein R(n):=11...11 (n Einsen).
Wie steht es mit den Primfaktorzerlegungen dieser Zahlen?
Probieren wir es erst mal:
R(2)=11 prim
R(3)=111=3×
37
R(4)=1111=11×
101
AUFGABE 3.64
Setze die Tabelle bis n=10 fort.
Betrachtet man die obigen Ergebnisse, so entdeckt man:
11ï
1111 Þ
R(2)ï
R(4)
11ï
111.111 Þ
R(2)ï
R(6)
111ï
111.111 Þ
R(3)ï
R(6)
Tatsächlich gilt der Satz: kï n Þ R(k)ï R(n) (1)
Diese Aussage lässt sich leicht einsehen, wenn man sich die schriftliche Division anschaut. Sie lässt sich auch folgendermaßen einsehen:
R(12)=111.111.111.111=111×
109+111×
106+111×
103+111=R(3)×
=1111×
108+1111×104+1111=R(4)×
Ist also n=r×k, so gilt R(n)=R(k)×
, und damit ist R(k) Teiler von R(n).
Damit kann man z.B. R(12)=R(6)×
1000001 darstellen. Da R(6) noch nicht den Teiler 101 von R(4) enthält, schließt man weiter: R(12)=3×
7×
11×
13×
37×
101×
9901 (9901 ist prim)
AUFGABE 3.65
Finde die Primfaktorzerlegungen von R(14) und R(15). (Einer der Primfaktoren von R(15) liegt zwischen Zwei- und Dreimillionen)
Die Primfaktorzerlegungen der R(n) lassen sich damit weitestgehend zurückführen auf die Zerlegungen der R(p) mit p prim. Bei deren Zerlegung hilft der kleine Fermatsche Satz weiter. Dabei wollen wir uns auf p>5 beschränken, denn für p=2, 3 und 5 sehen wir ja schon klar.
Für p>5 gilt ja 10p-1º 1 mod p, also 10p-1-1º 0 mod p (*). 10p-1-1 ist aber eine Zahl aus p-1 Neunen, klammert man also 9 aus, so bedeutet (*) : pï 9× R(p-1) und , da p>3 ist:
Für p³7 gilt: pïR(p-1) (2)
Beispiele: 7ïR(6)=3×7×11×13×37
11ï
R(10)=1.111.111.111=11×101.010.101
13ï
R(12) siehe oben
Tatsächlich kann p auch schon in einem kleineren R(n) enthalten sei; so gilt z.B. 41ï R(40), aber auch schon 41ï R(5) und damit natürlich auch 41ï R(5k) nach (1).
Tritt nun in der Reihe der R(n) ein Primfaktor p zum ersten Mal in R(k) auf, so muss also k Teiler von p-1 sein : p-1º
0 mod k oder
pº
1 mod k (3)
Man braucht also bei der Teilersuche von R(k) nur noch neue Primteiler der Form r× k+1 zu suchen. Ein möglicher Primteiler t von R(p) kann wegen der Nichtzerlegbarkeit sogar noch gar nicht vorgekommen sein. Es gilt also t=k× p+1. Dabei kann k nicht ungerade sei, da dann t gerade wäre. Es gilt also k=2m und damit t=2mp+1=(2p)m+1- es ist also tº1 mod 2p (4)
Für p=13 findet man die Teiler 53=2×26+1, 79=3× 26+1 und 265.371.653=10.206.602×26+1, für p=17 2.071.723=60933×34+1 und 5.363.222.357=?. R(19) ist prim, wie auch R(23) und vorher R(2). Ob es weitere Primzahlen unter den R(n) gibt, ist unbekannt. Wegen den in der Primfaktorzerlegung eines jeden neuen R(p) auftretenden neuen Primfaktoren werden diese schnell sehr groß. So beginnt die Zerlegung von R(37) mit den Faktoren 2.028119 und 247.629.013.
Bei Ribenboim (siehe Literatur) findet sich die Mitteilung, dass auch R(317) und R(1031) Primzahlen sind. Für Repunits kleiner als R(10000) sind dies laut Dubner, dem Entdecker der letztgenannten Primzahl, aber dann alle. Die Zerlegungen sind bisher bis R(89) geglückt, wobei z.B. R(71) das Produkt von einer 30-stelligen Primzahl mit einer 41-stelligen ist.
AUFGABE 3.66
Zeige, daß kein R(n) (>1) Quadratzahl ist. (Tip: rechne mod 4)
AUFGABE 3.67
Kann ein R(n) Vielfaches von 7 bzw. 13 sein?
AUFGABE 3.68
Zeige: Zu jedem p>5 gibt es ein n mit pï
R(n).
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