Einf黨rung in die Kombinatorik


In der Kombinatorik geht es um zwei typische Fragestellungen:

 "Wie viele M鰃lichkeiten gibt es...

Allgemein formuliert: "Wie viele M鰃lichkeiten gibt es... Die erste Frage f黨rt auf das Problem der Permutationen. Die zweite Frage auf das der Kombinationen bzw. Variationen.

Wir untersuchen die beiden Fragen zuerst an Beispielen und l鰏en sie dann allgemein. 

Permutationen

Beispiel: Insgesamt 3 Objekte, z.B. die Zahlen 1,2 und 3, sollen in verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden. Wie viele M鰃lichkeiten gibt es ?

Versuchen Sie andere Beispiele und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis:

Anzahl der Permutationen
Anzahl der Elemente:

Anzeige der M鰃lichkeiten, wenn Elementzahl kleiner 7 ist.
Anzahl der M鰃lichkeiten:
Zur allgemeinen L鰏ung

Auswahl von k aus n m鰃lichen Elementen

Die Fragestellung lautet jetzt: Wir m鯿hten 2 Elemente aus 4 Elementen ausw鋒len. Wie viele M鰃lichkeiten gibt es?

 Dabei m黶sen wir 4 F鋖le unterscheiden:
  

Auswahl von 2 aus 4 m鰃lichen Elementen
mit Reihenfolge bzw. mit Ber點ksichtigung der Anordnung ohne Reihenfolge bzw. ohne Ber點ksichtigung der Anordnung
VariationenKombinationen
mit Wiederholungohne Wiederholungmit Wiederholungohne Wiederholung
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 4412, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 4311, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44 12, 13, 14, 23, 24, 34 
16 M鰃lichkeiten12 M鰃lichkeiten10 M鰃lichkeiten6 M鰃lichkeiten


Hier gilt 21=12, da die Reihenfolge keine Rolle spielt

Wenn die Reihenfolge der ausgew鋒lten Elemente ber點ksichtigt wird, spricht man von Variationen, sonst von Kombinationen.

Testen Sie andere Beispiele und kontrollieren Sie Ihre L鰏ung:

Auswahl von k aus n Elementen
Ausgew鋒lt werden k = 
von insgesamt n =  Elementen
mit ohne Wiederholungen
mit ohne Ber點ksichtigung der Reihenfolge

Anzeige der M鰃lichkeiten f黵 n < 10 und weniger als 1000 M鰃lichkeiten
Anzahl der M鰃lichkeiten:

Zur allgemeinen L鰏ung f黵

Permutationen von n Objekten

Die Permutationen kann man auch als Auswahl von n Elementen aus einer Menge von n Elementen mit Reihenfolge und ohne Wiederholung betrachten.

Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten

Zusammenfassung

Auswahl von k Elementen aus n Elementen
mit Reihenfolge bzw. mit Ber點ksichtigung der Anordnungohne Reihenfolge bzw. ohne Ber點ksichtigung der Anordnung
VariationenKombinationen
mit Wiederholungohne Wiederholungmit Wiederholungohne Wiederholung
nk

躡ungen

  1. 躡erpr黤en Sie die Formeln an Beispielen.
  2. Beim Zahlenlotto 6 aus 49 werden 6 Kugeln aus einem Vorrat von 49 Kugeln ohne Zur點klegen gezogen. Wie viele M鰃lichkeiten f黵 Lottozahlen gibt es ?

Fehler, Anregungen bitte an Thomas Gebhardt