Einführung in die Kombinatorik


In der Kombinatorik geht es um zwei typische Fragestellungen:

 "Wie viele Möglichkeiten gibt es...

Allgemein formuliert: "Wie viele Möglichkeiten gibt es... Die erste Frage führt auf das Problem der Permutationen. Die zweite Frage auf das der Kombinationen bzw. Variationen.

Wir untersuchen die beiden Fragen zuerst an Beispielen und lösen sie dann allgemein. 

Permutationen

Beispiel: Insgesamt 3 Objekte, z.B. die Zahlen 1,2 und 3, sollen in verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es ?

Versuchen Sie andere Beispiele und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis:

Anzahl der Permutationen
Anzahl der Elemente:

Anzeige der Möglichkeiten, wenn Elementzahl kleiner 7 ist.
Anzahl der Möglichkeiten:
Zur allgemeinen Lösung

Auswahl von k aus n möglichen Elementen

Die Fragestellung lautet jetzt: Wir möchten 2 Elemente aus 4 Elementen auswählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

 Dabei müssen wir 4 Fälle unterscheiden:
  

Auswahl von 2 aus 4 möglichen Elementen
mit Reihenfolge bzw. mit Berücksichtigung der Anordnung ohne Reihenfolge bzw. ohne Berücksichtigung der Anordnung
VariationenKombinationen
mit Wiederholungohne Wiederholungmit Wiederholungohne Wiederholung
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 4412, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 4311, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44 12, 13, 14, 23, 24, 34 
16 Möglichkeiten12 Möglichkeiten10 Möglichkeiten6 Möglichkeiten


Hier gilt 21=12, da die Reihenfolge keine Rolle spielt

Wenn die Reihenfolge der ausgewählten Elemente berücksichtigt wird, spricht man von Variationen, sonst von Kombinationen.

Testen Sie andere Beispiele und kontrollieren Sie Ihre Lösung:

Auswahl von k aus n Elementen
Ausgewählt werden k = 
von insgesamt n =  Elementen
mit ohne Wiederholungen
mit ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Anzeige der Möglichkeiten für n < 10 und weniger als 1000 Möglichkeiten
Anzahl der Möglichkeiten:

Zur allgemeinen Lösung für

Permutationen von n Objekten

Die Permutationen kann man auch als Auswahl von n Elementen aus einer Menge von n Elementen mit Reihenfolge und ohne Wiederholung betrachten.

Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten

Zusammenfassung

Auswahl von k Elementen aus n Elementen
mit Reihenfolge bzw. mit Berücksichtigung der Anordnungohne Reihenfolge bzw. ohne Berücksichtigung der Anordnung
VariationenKombinationen
mit Wiederholungohne Wiederholungmit Wiederholungohne Wiederholung
nk

Übungen

  1. Überprüfen Sie die Formeln an Beispielen.
  2. Beim Zahlenlotto 6 aus 49 werden 6 Kugeln aus einem Vorrat von 49 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele Möglichkeiten für Lottozahlen gibt es ?

Fehler, Anregungen bitte an Thomas Gebhardt

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