Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktionenschar f_a mit a &ne 0 und der Funktionsgleichung:

f_a(x) = (x² - 2x/a) &sdot e^ax

a) Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Schar durch. Charakterisieren Sie die Schar insgesamt.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktionenschar für a=1 in einem sinnvollen Bereich.
c) Zeichnen Sie im Graphen von f₁ das Dreieck ABC, das aus folgenden Punkten besteht ein: A(0/0), B(u/0) und C(u/f₁(u)). Dabei gelte: a=1 und 0 < u < 2.
Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks A_ABC(u). Wie muss u gewählt werden, damit A_ABC(u) maximal wird ? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt für a=1.
d) Sei nun eine Parabelschar g_a gegeben mit der Funktionsgleichung:
g_a(x) = a(x² - 2x/a)

Zeigen Sie, dass f_a und g_a im Normalfall drei Schnittpunkte haben. Rechnen Sie die drei Schnittpunkte für a=5 aus.
Berechnen Sie diejenigen Werte von a, für die sich die Graphen von f_a und g_a nur in zwei Punkten schneiden. Erläutern bzw. interpretieren Sie Ihr Ergebnis.