Zunächst musst du wissen, dass die Ableitung f'(x) der Funktion f(x) der Grenzwert des Differenzenquotienten ist:
[f(x+dx) - f(x)]/dx
... Steigung der Sekante zwischen den Punkten
P(x,f(x)) und Q(x+dx,f(x+dx))
wird der Abstand dx beliebig klein, dx -> 0, dann wird die Sekante zur Tangente, demnach der Anstieg der Sekante zum Anstieg der Tangente, man schreibt:
[f(x+dx) - f(x)]/dx -> f'(x) (dx -> 0)
(dx sollte "delta x" sein!! also das griechische d!)
Zum Beispiel:
Die Ableitung von f(x) = x² lautet f'(x) = 2x weil
[(x+dx)² - x²]/dx = 2x + dx -> 2x (dx -> 0)
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Nun zur Produktregel:
Nimm ein Produkt von zwei Funktionen, z.B.:
p(x) = x*(1+x)
Würde man jeden Faktor einzeln ableiten, wäre das Ergebnis
x'*(1+x)'= 1*1
Andererseits kann man die Klammer ausmultiplizieren, dann gilt
p'(x) = (x + x²)' = 1 + 2x
Dieses einfache Beispiel zeigt:
MAN DARF IN EINEM PRODUKT DIE FAKTOREN NICHT EINZELN ABLEITEN!
Vielmehr gilt für ein Produkt p(x) = f(x)*g(x) die
PRODUKTREGEL:
p'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
(Merke: erster Faktor abgeleitet, zweiter angeschrieben, dann ersten anschreiben und ...)
Beweis:
wir setzen voraus, dass f' die Ableitung von f und g' die Ableitung von g ist, d.h.:
[f(x+dx)-f(x)]/dx -> f'(x)
[g(x+dx)-g(x)]/dx -> g'(x)
wir suchen die Ableitung p'(x), also bilden wir zunächst den Differenzenquotienten (zunächst ohne Nenner:)
p(x+dx)-p(x)=
f(x+dx)*g(x+dx)-f(x)*g(x)= (Mittelterm subtrahieren und add)
f(x+dx)*g(x+dx) - f(x)*g(x+dx) + f(x)*g(x+dx) - f(x)*g(x)=
[f(x+dx)-f(x)]*g(x+dx) + f(x)*[g(x+dx)-g(x)]
Nach Division durch dx bilden die eckigen Klammern die vor-gegebenen Differenzenquotienten:
f(x+dx)-f(x)].......................[g(x+dx)-g(x)]
---------------*g(x+dx) + f(x)*----------------........->
.......dx....................................dx
....f'(x)....*g(x)....+ f(x)*.....g'(x)