Hallo!

Ich habe da ein Problem, ich soll eine Aufgabe lösen, inder ich zeigen soll, dass die vollständige Induktion falsch ist (wenn möglich mathematisch, nicht nur mit Worten). Die vollständige Induktion habe ich verstanden, aber diese Aufgabe nicht, vielleicht kann mir ja jemand helfen. Danke schon mal.

Alle Menschen sind gleich groß,
wie sich „natürlich“ leicht durch vollständige Induktion „zeigen lässt“.
Betrachten wir einen Raum mit n Personen:
Induktionsanfang: Für eine Person klar erfüllt. Sie ist gleich groß wie sie selbst.
Induktionsschritt: Die Induktionsvoraussetzung ist, dass n Personen in einem Raum die selbe Größe haben. Wenn nun n+1 Personen in einem Raum sind, so geht eine Person raus, die restlichen n sind nach Voraussetzung gleich groß. Um sicher zu gehen, dass die hinausgegangene Person gleich groß wie die anderen ist, lassen wir sie wieder herein und schicken eine andere Person hinaus, so dass wieder n Personen im Raum sind, die nach Voraussetzung wieder gleich groß sind. Also sind, wie wir schon immer gedacht haben, alle Menschen gleich groß!

Frage: Wo steckt der Fehler bei dieser vollständigen Induktion?

Der Induktionsanfang ist fragwürdig.
Die Behauptung sagt ja aus: je ZWEI Personen aus einer Gruppe sind gleich groß.
Daher müsste man den Induktionsanfang mit 2 Personen starten. Und die sind im allgemeinen eben nicht gleich groß. Damit fällt der gesamte Induktionsbeweis in sich zusammen.

Hmm, keine Ahnung, aber ich kann nachher ja mal Herrn Reidl fragen... ;-p

Die Antwort von Hopsky ist so wohl nicht ganz richtig, da sie zwar am konkreten Beispiel zeigt, dass die Aussage nicht für alle n gilt (aber das ist ohnehin den meisten klar), aber nicht den Fehler in der Beweisstruktur aufweist. Denn gerade der Induktionsanfang ist in Ordnung.
Der Fehler liegt darin, dass der Schluss von n auf n+1 hier erst für n>2 möglich ist, da sonst die Argumentation mit den im Raum zurückbleibenden Personen nicht klappt. Zwar sind auch unter 0 Personen alle gleich groß, aber der verwendete Schluss setzt voraus, dass die beiden Personen, die nacheinander den Raum verlassen, gleichgroß mit den zurückbleibenden Personen sind, und das funktioniert hier nicht.
Hinter der Argumentation steht die sogenannte Transitivität der Gleichheitsbeziehung: Aus a=b und b=c folgt a=c.