Allgemeines Iterationsverfahren

Maple - worksheet

Die Bearbeitung der Aufgabe kann auch mit Taschenrechner erfolgen

Keplergleichung

Planetenbahnen sind bekanntlich Ellipsen. Die Bahngeschwindigkeit schwankt. In der Nähe des sonnennächsten Punktes (Perihel) ist sie etwas größer als im sonnenfernsten Punkt (Aphel). Kepler gelang es mit einer transzendenten Gleichung, die Postion eines Planeten in bezug auf die Sonne zu jedem beleibigen Zeitpunkt zu beschreiben.

Kepler bestimmte den Ort eines Planeten P bezüglich der Sonne S in Polarkoordinaten r
(Abstand von S und P) und phi (Winkel SP zur Achse Perihel-Aphel) mit Hilfe der Gleichung
2*Pi*t/T = psi - eps*sin(psi) (Keplersche Gleichung).
Dabei ist T die Umlaufzeit des Planeten P und e die Exzentrizität seiner Bahn, die aus Beobachtungen bestimmt werden.
Wie kann man zu einer bestimmten Zeit t zwischen 0 und T den Winkel psi näherungsweise bestimmen ?
Wenn man psi hat, kann man mit Hilfe der Formeln
r=a(1 - eps*cos(psi)) und tan(phi/2) = sqrt((1+eps)/(1-eps)*tan(psi/2))
die Polarkoordinaten von P berechnen.

Konstanten a=1 AE, t = 1/4 Jahr; eps : numerische Exzentriztät der Erdbahn als Beispiel

> a:=1;t:=T/4;eps:=0.0167;

Die Keplergleichung wird näherungsweise mit Hilfe des Allgemeinen Iterationsverfahrens x = g(x) gelöst; für psi wird x gesetzt. Dazu wird zunächst die Gleichung umgeformt zu x = 2*Pi*t/T+eps*sin(x); die rechte Seite ergibt die Iterationsfunktion g(x) :

> g:=x->2*Pi*t/T-eps*sin(x);

Da eps sehr klein ist, braucht man nur wenige Iterationen für eine ausreichende Genauigkeit :

> x:=evalf(Pi/2.,6);
for i from 1 to 3 do x:=evalf(g(x),6) od;
r:=evalf(a*(1-eps*cos(x)),5);
phi:=evalf(2*arctan(sqrt((1+eps)/(1-eps)*tan(x/2)))*180/Pi,5);

Nach 1/4 Jahr, gemessen vom Perihel, befindet sich also die Erde in einem Abstand von 0.99972 AE von der Sonne unter einem Winkel von 90,48° zur Achse Perihel - Aphel.