Pipeline-Aufgabe

Maple - worksheet

Von einer Bohrinsel B soll zu einer Raffinerie R eine Pipeline verlegt werden. Jeder Kilometer im Wasser kostet 850 000 DM, über Land 400 000 DM.
a) Wie groß sind die Kosten bei einer geradlinigen Verbindung von R und B.
b) Wie ist die Pipeline zu verlegen, damit die Verlegungskosten minimal sind ?
c) Wieviel spart man bei b) gegenüber a) ?
d) Noch während der Planung wird ein Streifen V entlang der Küste zum Vogelschutzgebiet erklärt. Wie sollte die Pipeline jetzt gebaut werden. Um wieviel teurer wird dadurch die Pipeline als die optimale ?

> restart:
a:=10:b:=15:c:=8:u:=10:pw:=850:pl:=400:#Konstanten

Direkter Weg von B nach R :

> g:=x->-b/(a+c)*x+b : g(x);

Kosten bei Leitung über Punkt X:

> kosten:=x->evalf(sqrt((b-x)^2+a^2)*pw + sqrt(x^2+c^2)*pl,7);

Teil a) Kosten bei Leitung über den direkten Weg und Kostenplot :

> direkt:=kosten(g(a));

> plot(kosten(x),x=0..b);

Teil b) Bestimmung des Minimums :

> k1:=x->diff(kosten(x),x) : k1(x);
m:=fsolve(k1(x)=0,x,10..12);

minmale Kosten :

> minimal:=kosten(m);

> Teil c)

> direkt-minimal;

Teil d) Weg über linke untere Ecke des Schutzgebietes

> lu:=kosten(2);

Weg über rechte obere Ecke :

> kosten2:=x->evalf(sqrt((b-x)^2+a^2)*pw + sqrt((x-12)^2+3^2)*pl+sqrt(12^2+5^2)*pl,7);

> k11:=x->diff(kosten2(x),x);
plot(kosten2(x),x=12..15);

> x2:=fsolve(k11(x)=0,x=13..14);

> lo:=kosten2(x2);

> lo-lu;

es ist also am günstigsten, über die rechte obere Ecke des Schutzgebietes zu gehen.