Zum Primzahlsatz

Experimenteller Zugang

Maple-Worksheet

Aus einem Buch oder übers WWW besorgt man sich eine Tabelle zur Funktion Pi(x), die angibt, wie viele Primzahlen höchstens gleich einer gegebenen Zahl x sind und wertet sie für Zehnerpotenzen aus :

Es fällt auf, dass der Zuwachs 10ⁿ⁺¹/pi(10ⁿ⁺¹) - 10ⁿ/pi(10ⁿ) konstant und etwa gleich ln 10 ist.

Andererseits gilt auch : ln10ⁿ⁺¹- ln10ⁿ = ln 10

Durch mutigen Vergleich dieser beiden Gleichungen kann man vermuten 10ⁿ/pi(10ⁿ) = ln10ⁿ

oder sogar x/pi(x) = ln x. Das wird natürlich nicht exakt erfüllt sein. Die folgende Untersuchung zeigt, wie gut die Näherung ist. Mit Maple wird die Funktion pi(x) berechnet und mit x/ln x verglichen.

> with(numtheory):
with(plots):
primes:=
proc (n,P)
local z,k:
z:=0:
for k from 1 by 1 to n do
if (isprime(k)=true) then
z:=z+1
fi:
P[k]:=z:
od:
end:

Hier die Dimension angeben, bis zu der untersucht werden soll:

> Dim:=100;

> primes(Dim,P):
l:=[[n,P[n]] $n=1..Dim]:
Primzahlen:=plot(l, x=1..Dim, style=point, symbol=circle, color=red):
Logarithmus:=plot(x/ln(x),x=1..Dim, color=blue):
display([Primzahlen,Logarithmus]);

Es ergibt sich eine ganz passable Näherung.

Auf diese Weise können Schüler einen ersten Zugang zum Primzahlsatz erhalten.
Auch als Schülerreferat geeignet.