Hallo!
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c. Auf jeder Seite dieses Dreiecks soll ein gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen a, b bzw. c aufgesetzt werden. Es entstehen die Dreiecke AC'B, BA'C und ACB'. Es soll begründet werden, warum die Strecken AA', BB', CC' die gleiche Länge haben. Da Pythagoras, Höhensatz usw. z. Z. die Themen im Unterricht sind, könnte die Lösung auch aus diesem Gebiet sein; ich sehe aber dennoch leider keinen Ansatzpunkt.
Für jegliche Hilfe bedanke ich mich im Voraus
Gert

Hab leider wenig Zeit, aber google mal unter

Fermatscher Punkt

L.G, Hopsky

Hallo nochmal!

Ich kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass die Lösung dieses Problems irgendwas mit Pythagoras oder Höhensatz zu tun hat. Wenn doch, dann poste doch bitte die Lösung deines Lehrers (und richte ihm schöne grüße aus :)

Ich kann dir die folgende Begründung anbieten:

Die drei Geraden AA', BB', CC' schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt F, dem Fermatschen Punkt.

Betrachte nun das Dreieck AFC und drehe es um 60° nach links in das Dreieck ACB'. Es müsste jetzt AC mit AB' zusammenfallen und der aus F enstandene Punkt F' müsste wieder auf BB' liegen.

Beachte dass die Längen AF, AF' und (!) FF' gleich lang sind, weil du um 60° gedreht hast und so ein gleichseitiges Dreieck AFF' gebildet hast.

Somit findest du die drei Strecken AF, BF und CF auf der Geraden BB' hintereinander aufgereiht wieder:

B'F' + F'F + FB = AF + BF + CF

Diese Drehung kannst du auch an den anderen Eckpunkten durchführen, stets gilt

B'F' + F'F + FB = AF + BF + CF
A'F' + F'F + FA = AF + BF + CF
C'F' + F'F + FC = AF + BF + CF

und die drei Strecken AA', BB' und CC' sind daher gleich lang wie AF + BF + CF.

Nebenbei bemerkt:
F ist jener Punkt, der in Summe von den Eckpunkten den minimalen Abstand hat, also
AF + BF + CF
hat für F den kleinsten Wert, für jeden anderen Punkt im Dreieck wäre die Summe größer.

Ich hoffe ich konnte alle Klarheiten restlos beseitigen, l.g Hopsky

Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Antwort. Es ist gut erklärt, sodass ich es auch verstanden habe. Ich wollte eigentlich einem Verwandten nur etwas Nachhilfe geben. Die Schüler haben von ihrem Lehrer bestimmte Seiten aus ihrem Mathebuch genannt bekommen, um sich auf die nächste Schulaufgabe vorzubereiten. Diese Aufgabe ist eine davon. Ich kann mir nicht vorstellen, dass viele Schüler diese Aufgabe hinkriegen. Ich werde anregen, dass die Aufgabe im Unterricht besprochen wird.
Nochmals vielen Dank
Gert

Die Aufgabe ist mit den Kongruenzsätzen lösbar. Wenn du zB das Dreieck C'BC betrachtest, dann besitzt es die Kantenlängen a und c mit dem eingeschlossenen Winkel 60°+beta. Im Dreieck A'BA liegen die Kanten a und c mit dem eingeschlossenen Winkel beta+60°. Die Dreiecke sind also kongruent und damit sind die Seiten A'A und C'C ebenfalls gleich lang. Ähnlich gilt das auch für A`A und B'B.

Ja, das tut's auch! Da war mein Ansatz wohl etwas kompliziert! Danke für den Tipp!

Auch meinerseits vielen Dank für den Hinweis.