Doch neugierig geworden?

Erzwungene Schwingungen
Mathematischer Anhang

Das Federpendel ist gekennzeichnet durch die Federkonstante D, die Masse m und die Dämpfungskonstante Γ. (Γ ist ein Maß für die Reibungskraft, die als proportional zur Geschwindigkeit vorausgesetzt wird.)

Die Hin- und Herbewegung der Pendelaufhängung erfolgt nach der Gesetzmäßigkeit y_E   =   A_E cos (ωt). Dabei ist y_E die Elongation (Auslenkung) des Erregers gegenüber der Mittelposition; A_E steht für die Amplitude der Erregerschwingung, ω für die zugehörige Kreisfrequenz und t für die Zeit.

Es geht nun darum herauszufinden, wie groß die Elongation y des Resonators (gemessen bezüglich seiner Mittelposition) zur Zeit t ist. Unter Verwendung der Bezeichnung ω₀   =   (D/m)^1/2 ergibt sich für dieses Problem die folgende Differenzialgleichung:

Bei der Lösung dieser Differenzialgleichung sind mehrere Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: Γ < 2 ω₀

Fall 1.1: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0 oder ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

Fall 1.2: Γ < 2 ω₀; Γ = 0 und ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

Fall 2: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

Fall 3: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phde/resonance_math_de.htm
Walter Fendt, 9. September 1998
Letzte Änderung: 2. Februar 2010

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