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(Bernoullisches) Gesetz der großen Zahl

Aufgabe

Es soll eine Wählerbefragung durchgeführt werden, die den Stimmenanteil einer Partei mit einer Abweichung von höchstens fünf Prozentpunkten verherzusagen ermöglicht. Die Sicherheit dieser Aussage soll mindestens 95% betragen. Wieviele Personen muß man nach dem (Bernoullischen) Gesetz der großen Zahl mindestens befragen, um dieses Ziel zu erreichen?

Lösung

Die Bedingung	P( \|h_n - p\| £ 0,05 ) ³ 0,95
ist äquivalent zu	P( \|h_n - p\| ³ 0,05) £ 0,05
Nach dem Gesetz der großen Zahl gilt	P( \|h_n - p\| ³ 0,05) £ 1/(n ´ 0,05²)
Wenn also die Ungleichung erfüllt ist, ist auch die im Text genannte Bedingung erfüllt.	1/(n ´ 0,05² ) £ 0,05
Nach n aufgelöst erhält man also	n ³ 2000
Antwort:	Befragt man mindestens 2000 Personen, so wird das gestellt Ziel erreicht.