Pipeline

Die Aufgabe stammt aus Baden-Württemberg unter der Adresse: http://www.zum.de/schule/Faecher/M/BW/M-LK/LP4/m-lk-fb1.htm

Von einer Bohrinsel B soll zu einer Raffinerie R eine Pipeline verlegt werden. Jeder Kilometer im Wasser kostet 850000 DM, über Land 400000 DM.

1. Wie großsind die Kosten bei einer geradlinigen Verbindung von R und B?
2. Wie ist die Pipeline zu verlegen, damit die Verlegungskosten minimal sind?
3. Wie viel spart man bei b) gegenüber a) in Prozent?
4. Noch während der Planung wird ein Streifen V entlang der Küste zum Vogelschutzgebiet erklärt. Wie sollte die Pipeline verlegt werden? Um wie viel teurer wird dadurch die Pipeline im Vergleich zu der optimalen?

Abstand BR = 

An Land: ; im Wasser: 23,43 – 10,41 = 13,02

Kosten= 

Das heißt bei direktem Weg müssen Kosten von 15.230.000 DM berechnet werden.

Kosten: 

Mit Differenzialrechnung:

Minimale Kosten für y_S=10,89977306: 14.595.000 DM

Weg über P:

Kosten also 17.240.000 DM

Weg über S,Q:

Kosten also 15.130.000 DM

y	13	13,2	14	15
Kosten	15.133.000	15.129.000	15.185.000	15.397.000

Es ist also günstiger die Pipeline über die rechte obere Ecke (Q) zu verlegen, wobei die Abhängigkeit von der Lage des Punktes S in der obigen Grafik zu sehen ist. Für S(10;13,21) sind die Kosten am geringsten.
Der Unterschied beträgt 17.240.000 DM - 15.130.000 DM = 2.110.000 DM.