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Rotationskörper

Zur Erinnerung:
Bekanntlich lassen sich die Volumina von Rotationskörpern mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen. Für einige derartige Körper lassen sich aber auch elementargeometrische Formeln benutzen. Für diese Fälle sind hier einige Beispiele angegeben.

Hinweise:
Die Wurzelfunktion wird hier als sqrt(..) geschrieben!
LE steht für Längeneinheiten, RE steht für Raumeinheiten.

Nr. Beispiel

1. Bei Rotation es Graphen zu f(x) = sqrt(9 - x²) in den Grenzen von -3 bis +3 um die x-Achse entsteht eine Kugel mit Radius r=3 LE, deren Volumen 36 Pi RE (» 113 RE)beträgt.

2. Bei Rotation es Graphen zu f(x) = sqrt(6,25 - x²) in den Grenzen von 0 bis +2,5 um die x-Achse entsteht eine Halbkugel mit Radius r, deren Volumen 20 5/6 Pi RE(» 65 RE) beträgt.

3. Bei Rotation es Graphen zu f(x) = 2x in den Grenzen von 0 bis 3 um die x-Achse entsteht ein Kegel mit Radius r=6 LE und der Höhe h=3 LE, dessen Volumen 108 Pi RE (» 339 RE) beträgt.

4. Bei Rotation es Graphen zu f(x) = x + 1 in den Grenzen von 0 bis 4 um die x-Achse entsteht ein Kegelstumpf mit den Radien R=5 LE und r=1 LE sowie der Höhe h=4 LE, dessen Volumen 124 Pi RE (» 390 RE) beträgt.

5. Bei Rotation es Graphen zu f(x) = 4 in den Grenzen von 0 bis 2 um die x-Achse entsteht ein Zylinder mit den Radien r=4 LE sowie der Höhe h=2 LE, dessen Volumen 32 Pi RE (» 101 RE) beträgt.

6. Die Kanten eines Rechtecks mit den Längen a und b liegen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems. R sei die Entfernung des Schwerpunkts des Rechtecks von der x-Achse. Bei der Rotation dieser Figur um die x-Achse entsteht ein Zylinder, aus dessen Innern ein Zylinder ausgeschnitten ist. Das Volumen dieses Körpers beträgt 2abR Pi RE.

Nr.	Beispiel
1.	Bei Rotation es Graphen zu f(x) = sqrt(9 - x²) in den Grenzen von -3 bis +3 um die x-Achse entsteht eine Kugel mit Radius r=3 LE, deren Volumen 36 Pi RE (» 113 RE)beträgt.
2.	Bei Rotation es Graphen zu f(x) = sqrt(6,25 - x²) in den Grenzen von 0 bis +2,5 um die x-Achse entsteht eine Halbkugel mit Radius r, deren Volumen 20 5/6 Pi RE(» 65 RE) beträgt.
3.	Bei Rotation es Graphen zu f(x) = 2x in den Grenzen von 0 bis 3 um die x-Achse entsteht ein Kegel mit Radius r=6 LE und der Höhe h=3 LE, dessen Volumen 108 Pi RE (» 339 RE) beträgt.
4.	Bei Rotation es Graphen zu f(x) = x + 1 in den Grenzen von 0 bis 4 um die x-Achse entsteht ein Kegelstumpf mit den Radien R=5 LE und r=1 LE sowie der Höhe h=4 LE, dessen Volumen 124 Pi RE (» 390 RE) beträgt.
5.	Bei Rotation es Graphen zu f(x) = 4 in den Grenzen von 0 bis 2 um die x-Achse entsteht ein Zylinder mit den Radien r=4 LE sowie der Höhe h=2 LE, dessen Volumen 32 Pi RE (» 101 RE) beträgt.
6.	Die Kanten eines Rechtecks mit den Längen a und b liegen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems. R sei die Entfernung des Schwerpunkts des Rechtecks von der x-Achse. Bei der Rotation dieser Figur um die x-Achse entsteht ein Zylinder, aus dessen Innern ein Zylinder ausgeschnitten ist. Das Volumen dieses Körpers beträgt 2abR Pi RE.